Đến nội dung

Hình ảnh

Chéo hóa $A$ tính $A^{10}$

* * * * * 1 Bình chọn iuh/@duyenpc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

(Câu 4). Cho ma trận $A= \begin{pmatrix} -3 & -14 & -10\\ 2 & 13 & 10\\ -2 & -7 & -4 \end{pmatrix}.$

a. Chéo hóa $A.$

b. Tính $A^{10}.$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-06-2021 - 15:45


#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Giải.

a. Ta có đa thức đặc trưng của $A:$

$$\left | A- \lambda I \right |\!=\!\left | \begin{pmatrix} -3 & -14 & -10\\ 2 & 13 & 10\\ -2 & -7 & -4 \end{pmatrix}- \lambda\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right |\!=\!\begin{vmatrix} -3- \lambda & -14 & -10\\ 2 & 13- \lambda & 10\\ -2 & -7 & -4- \lambda \end{vmatrix}\!=$$

$$= \left ( -3- \lambda \right )\left ( 13- \lambda \right )\left ( -4- \lambda \right )- 14\cdot 10\cdot\left ( -2 \right )- 10\cdot 2\cdot\left ( -7 \right )- \left ( -3- \lambda \right )10\cdot\left ( -7 \right )+$$

$$+ 14\cdot 2\left ( -4- \lambda \right )+ 10\left ( 13- \lambda \right )\left ( -2 \right )= -\lambda^{3}+ 6\lambda^{2}+ \lambda- 6= \left ( 1+ \lambda \right )\left ( 1- \lambda \right )\left ( 6- \lambda \right )$$

có ba nghiệm $\lambda_{1}= -1, \lambda_{2}= 1, \lambda_{3}= 6.$

Đây là những phần tử nằm trên đường chéo của dạng chéo hóa tương ứng với trị riêng của $A.$

Xét $\lambda_{1}= -1:$

$$A\!-\!\lambda I\!=\!\begin{pmatrix} \!-2 \!&\! -14 \!&\! -10\!\\ \!2 \!&\! 14 \!&\! 10\!\\ \!-2 \!& -7 \!& -3\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{2}+ R_{3}]{R_{2}+ R_{1}}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\!\\ 2 \!&\! 14 \!&\! 10\!\\ 0 \!&\! 7 \!&\! 7\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow{R_{2}/2}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\!\\ \!1 \!&\! 7 \!&\! 5\!\\ \!0 \!&\! 7 \!&\! 7\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{3}/7]{-R_{3}+ R_{2}}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\!\\ 1 \!&\! 0 \!&\! -2\!\\ 0 \!&\! 1 \!&\! 1\! \end{pmatrix}$$

$$\Rightarrow x_{3}= \alpha, x_{2}= -\alpha, x_{1}= 2\alpha\Rightarrow\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right )= \left ( 2, -1, 1 \right )\Rightarrow\dim E\left ( -1 \right )= 1$$

Xét $\lambda_{2}= 1:$

$$A-\!\lambda I=\!\begin{pmatrix} \!-4 \!&\! -14 \!&\! -10\!\\ \!2 \!&\! 12 \!&\! 10\!\\ \!-2 \!& -7 \!& -5\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{2}+ R_{3}]{2R_{3}- R_{1}}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\!\\ 2 \!&\! 12 \!&\! 10\!\\ 0 \!&\! 5 \!&\! 5\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow{R_{2}/2}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\!\\ \!1 \!&\! 6 \!&\! 5\!\\ \!0 \!&\! 5 \!&\! 5\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{3}/5]{-R_{3}+ R_{2}}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 & 0\\ 1 \!&\! 1 & 0\\ 0 \!&\! 1 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\Rightarrow x_{3}= \alpha, x_{2}= -\alpha, x_{1}= \alpha\Rightarrow\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right )= \left ( 1, -1, 1 \right )\Rightarrow\dim E\left ( 1 \right )= 1$$

Xét $\lambda_{3}= 6:$

$$A-\!\lambda I=\!\begin{pmatrix} \!-9 \!&\! -14 \!&\! -10\!\\ \!2 \!&\! 7 \!&\! 10\!\\ \!-2 \!& -7 \!& -10\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{2}+ R_{3}]{R_{3}- R_{1}}\!\begin{pmatrix} \!7 \!&\! 7 \!&\! 0\!\\ 2 \!&\! 7 \!&\! 10\!\\ 0 \!&\! 0 \!&\! 0\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow{R_{1}- R_{2}}\!\begin{pmatrix} \!7 \!&\! 7 \!&\! 0\!\\ \!5 \!&\! 0 \!&\! -10\!\\ \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{2}/5]{R_{1}/7}\!\begin{pmatrix} \!1 \!&\! 1 \!&\! 0\!\\ 1 \!&\! 0 \!&\! -2\!\\ 0 \!&\! 0 \!&\! 0\! \end{pmatrix}$$

$$\Rightarrow x_{3}= \alpha, x_{1}= 2\alpha, x_{2}= -2\alpha\Rightarrow\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right )= \left ( 2, -2, 1 \right )\Rightarrow\dim E\left ( 6 \right )= 1$$

Có được tổng số chiều của các không gian con riêng của ma trận cũng bằng $3$ nên chéo hóa được.

Ta suy ra vectors riêng là $v_{1}= \left ( 2, -1, 1 \right ), v_{2}= \left ( 1, -1, 1 \right ), v_{3}= \left ( 2, -2, 1 \right )$ tương ứng với mỗi cột của $P.$

Có được $P^{-1}AP= D$ với $P=\!\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\ -1 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\!, P^{-1}=\!\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & -2\\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}\!, D=\!\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}\!.$

b. Ta lại có $A= PDP^{-1}\Rightarrow A^{10}= PDP^{-1}PDP^{-1}P\ldots DP^{-1}= PD^{10}P^{-1}.$

Tìm được $A^{10}= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\ -1 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \left ( -1 \right )^{10} & 0 & 0\\ 0 & 1^{10} & 0\\ 0 & 0 & 6^{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & -2\\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-06-2021 - 15:47






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: iuh/@duyenpc

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh