(Câu 4). Cho ma trận $A= \begin{pmatrix} -3 & -14 & -10\\ 2 & 13 & 10\\ -2 & -7 & -4 \end{pmatrix}.$
a. Chéo hóa $A.$
b. Tính $A^{10}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-06-2021 - 15:45
Giải.
a. Ta có đa thức đặc trưng của $A:$
$$\left | A- \lambda I \right |\!=\!\left | \begin{pmatrix} -3 & -14 & -10\\ 2 & 13 & 10\\ -2 & -7 & -4 \end{pmatrix}- \lambda\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right |\!=\!\begin{vmatrix} -3- \lambda & -14 & -10\\ 2 & 13- \lambda & 10\\ -2 & -7 & -4- \lambda \end{vmatrix}\!=$$
$$= \left ( -3- \lambda \right )\left ( 13- \lambda \right )\left ( -4- \lambda \right )- 14\cdot 10\cdot\left ( -2 \right )- 10\cdot 2\cdot\left ( -7 \right )- \left ( -3- \lambda \right )10\cdot\left ( -7 \right )+$$
$$+ 14\cdot 2\left ( -4- \lambda \right )+ 10\left ( 13- \lambda \right )\left ( -2 \right )= -\lambda^{3}+ 6\lambda^{2}+ \lambda- 6= \left ( 1+ \lambda \right )\left ( 1- \lambda \right )\left ( 6- \lambda \right )$$
có ba nghiệm $\lambda_{1}= -1, \lambda_{2}= 1, \lambda_{3}= 6.$
Đây là những phần tử nằm trên đường chéo của dạng chéo hóa tương ứng với trị riêng của $A.$
Xét $\lambda_{1}= -1:$
$$A\!-\!\lambda I\!=\!\begin{pmatrix} \!-2 \!&\! -14 \!&\! -10\!\\ \!2 \!&\! 14 \!&\! 10\!\\ \!-2 \!& -7 \!& -3\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{2}+ R_{3}]{R_{2}+ R_{1}}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\!\\ 2 \!&\! 14 \!&\! 10\!\\ 0 \!&\! 7 \!&\! 7\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow{R_{2}/2}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\!\\ \!1 \!&\! 7 \!&\! 5\!\\ \!0 \!&\! 7 \!&\! 7\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{3}/7]{-R_{3}+ R_{2}}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\!\\ 1 \!&\! 0 \!&\! -2\!\\ 0 \!&\! 1 \!&\! 1\! \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow x_{3}= \alpha, x_{2}= -\alpha, x_{1}= 2\alpha\Rightarrow\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right )= \left ( 2, -1, 1 \right )\Rightarrow\dim E\left ( -1 \right )= 1$$
Xét $\lambda_{2}= 1:$
$$A-\!\lambda I=\!\begin{pmatrix} \!-4 \!&\! -14 \!&\! -10\!\\ \!2 \!&\! 12 \!&\! 10\!\\ \!-2 \!& -7 \!& -5\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{2}+ R_{3}]{2R_{3}- R_{1}}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\!\\ 2 \!&\! 12 \!&\! 10\!\\ 0 \!&\! 5 \!&\! 5\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow{R_{2}/2}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\!\\ \!1 \!&\! 6 \!&\! 5\!\\ \!0 \!&\! 5 \!&\! 5\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{3}/5]{-R_{3}+ R_{2}}\!\begin{pmatrix} \!0 \!&\! 0 & 0\\ 1 \!&\! 1 & 0\\ 0 \!&\! 1 & 1 \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow x_{3}= \alpha, x_{2}= -\alpha, x_{1}= \alpha\Rightarrow\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right )= \left ( 1, -1, 1 \right )\Rightarrow\dim E\left ( 1 \right )= 1$$
Xét $\lambda_{3}= 6:$
$$A-\!\lambda I=\!\begin{pmatrix} \!-9 \!&\! -14 \!&\! -10\!\\ \!2 \!&\! 7 \!&\! 10\!\\ \!-2 \!& -7 \!& -10\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{2}+ R_{3}]{R_{3}- R_{1}}\!\begin{pmatrix} \!7 \!&\! 7 \!&\! 0\!\\ 2 \!&\! 7 \!&\! 10\!\\ 0 \!&\! 0 \!&\! 0\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow{R_{1}- R_{2}}\!\begin{pmatrix} \!7 \!&\! 7 \!&\! 0\!\\ \!5 \!&\! 0 \!&\! -10\!\\ \!0 \!&\! 0 \!&\! 0\! \end{pmatrix}\!\xrightarrow[R_{2}/5]{R_{1}/7}\!\begin{pmatrix} \!1 \!&\! 1 \!&\! 0\!\\ 1 \!&\! 0 \!&\! -2\!\\ 0 \!&\! 0 \!&\! 0\! \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow x_{3}= \alpha, x_{1}= 2\alpha, x_{2}= -2\alpha\Rightarrow\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right )= \left ( 2, -2, 1 \right )\Rightarrow\dim E\left ( 6 \right )= 1$$
Có được tổng số chiều của các không gian con riêng của ma trận cũng bằng $3$ nên chéo hóa được.
Ta suy ra vectors riêng là $v_{1}= \left ( 2, -1, 1 \right ), v_{2}= \left ( 1, -1, 1 \right ), v_{3}= \left ( 2, -2, 1 \right )$ tương ứng với mỗi cột của $P.$
Có được $P^{-1}AP= D$ với $P=\!\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\ -1 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\!, P^{-1}=\!\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & -2\\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}\!, D=\!\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}\!.$
b. Ta lại có $A= PDP^{-1}\Rightarrow A^{10}= PDP^{-1}PDP^{-1}P\ldots DP^{-1}= PD^{10}P^{-1}.$
Tìm được $A^{10}= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\ -1 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \left ( -1 \right )^{10} & 0 & 0\\ 0 & 1^{10} & 0\\ 0 & 0 & 6^{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & -2\\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-06-2021 - 15:47
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
\[\left[f\right]_{E_{3},B},\left[f\,x\right]_{C},\left[f\right]_{B}^{C},\left[x\right]_{B}\]Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 19-06-2021 iuh/@duyenpc |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
$U,V$ là hai cơ sở của $\mathbb{R}^{3},$ tìm tọa độ của $x$ theo $U,V,$ tìm $P_{U\rightarrow V}$ và $P_{V\rightarrow U}Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 17-06-2021 iuh/@duyenpc |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tìm số chiều và một cơ sở $W$ của không gian con sinh bởi hệ vectors $U$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 16-06-2021 iuh/@duyenpc |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Làm sao để tìm được $1$ ma trận biểu diễn và biểu thức của phép quay này ?Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 14-06-2021 rotation, iuh/@duyenpc |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh