Chủ đề này có 4 trả lời

[DOTOANNANG]

(Câu 1). Cho hệ vectors $U= \left \{ \left ( 1, 2, 3 \right ), \left ( 0, -1, -2 \right ), \left ( 2, 3, 4 \right ), \left ( 1, 0, -1 \right ) \right \}.$

a. Tìm số chiều và một cơ sở $W$ của không gian con sinh bởi hệ vectors $U.$

b. Tìm tham số $k$ để $u= \left ( 2, 3, k^{2}+ 1 \right )$ là một tổ hợp tuyến tính của $W,$ và suy ra $\left [ u \right ]_{W}.$

[Baoriven]

a. Cơ sở của $W$ là $\{(1,2,3),(0,1,2)\}$.
b. $a(1,2,3)+b(0,1,2)=(2,3,k^2+1)$ thì từ đây ta được $a,b=2,-1$ và $k=\pm\sqrt{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 16-06-2021 - 16:43

[DOTOANNANG]

Giải.

a. Ta sẽ dùng phép biến đổi sơ cấp với ma trận của hệ vectors $U$ như sau

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & -2\\ 2 & 3 & 4\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\xrightarrow{R_{4}\leftrightarrow R_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & -2\\ 2 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\xrightarrow{-R_{1}+ R_{2}+ R_{3}- R_{4}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & -2\\ 2 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & -2\\ 2 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\xrightarrow{2R_{1}- 3R_{2}- R_{3}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & -2\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\xrightarrow{R_{3}- R_{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Hạng của ma trận $r= 2.$

Vậy có được số chiều của không gian con sinh bởi hệ là $\dim\operatorname{span}U= \dim W= 2.$

Còn cơ sở cần tìm $W= \left \{ \left ( 1, 0, -1 \right ), \left ( 0, 1, 2 \right ) \right \}.$

b. Để $u= \left ( 2, 3, k^{2}+ 1 \right )$ là một tổ hợp tuyến tính của $W:$

$$u= a\left ( 1, 0, -1 \right )+ b\left ( 0, 1, 2 \right )\Rightarrow\left\{\begin{matrix} a= 2\\ b= 3\\ -a+ 2b= k^{2}+ 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} a= 2\\ b= 3\\ k^{2}+ 1= 4\Rightarrow k= \pm\sqrt{3} \end{matrix}\right.$$

Suy ra $k= \pm\sqrt{3}$ và $\left [ u \right ]_{W}= \begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-06-2021 - 10:57

[Bhtrang]

Cho mk hỏi tại sao [u]w lại có tọa độ đó ạ

[DOTOANNANG]

Đó là phép biểu diễn đầu tiên của dòng thứ hai (ý b).
Nên $\left [ u \right ]_{W}= \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 17-06-2021 - 13:58