Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{5}+b^{5}+c^{2}}\geq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
darkangle249

darkangle249

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$, chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{5}+b^{5}+c^{2}}\geq 2$



#2
Mrwhite320064

Mrwhite320064

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$, chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{5}+b^{5}+c^{2}}\geq 2$

 

Dễ chứng minh :$a^{5}+b^5\geq ab(a^3+b^3)$ ( bn cm bằng chuyển vế rồi phân tích ra nhé !)

Ta có : $VT=3-\sum \left ( \frac{c^2}{a^5+b^5+c^2} \right )\geq 3-\sum \left ( \frac{c^2}{ab(a^3+b^3)+c^2} \right )=3-\sum \left ( \frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} \right )=2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 (đpcm)



#3
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Dễ chứng minh :$a^{5}+b^5\geq ab(a^3+b^3)$ ( bn cm bằng chuyển vế rồi phân tích ra nhé !)

Ta có : $VT=3-\sum \left ( \frac{c^2}{a^5+b^5+c^2} \right )\geq 3-\sum \left ( \frac{c^2}{ab(a^3+b^3)+c^2} \right )=3-\sum \left ( \frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} \right )=2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 (đpcm)

Một cách cm cái bổ đề

Áp dụng Amgm 5 số

$a^5+a^5+a^5+a^5+b^5\geq 5a^4b$

$a^5+b^5+b^5+b^5+b^5\geq 5ab^4$

Cộng lại






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh