Giải phương trình: $2(x-2)(\sqrt[3]{4x-4}+\sqrt{2x-2})=3x-1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 18-06-2021 - 21:56
ĐKXĐ: $x\geq 1$
Đặt $t=\sqrt[6]{x-1}$ ($t\geq 0$) $\Rightarrow x=t^{6}+1$. Thay vào pt:
$2(t^{6}-1)(\sqrt[3]{4}t^{2}+\sqrt{2}t^{3})=3t^{6}+2$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}t^{9}+2\sqrt[3]{4}t^{8}-3t^{6}-2\sqrt{2}t^{3}-2\sqrt[3]{4}t^{2}-2=0$
$\Leftrightarrow (t^{6}-2)\left(2\sqrt{2}t^{3}+2\sqrt[3]{4}t^{2}-3+\frac{2\sqrt{2}}{t^{3}+\sqrt{2}}+\frac{2\sqrt[3]{4}}{t^{4}+\sqrt[3]{2}t^{2}+\sqrt[3]{4}}\right)=0$
Pt trên có $1$ nghiệm $t=\sqrt[6]{2}$ tương ứng với $x=3$
Ta sẽ cm bt trong ngoặc thứ $2$ (ký hiệu là P) luôn lớn hơn $0$
Do $t\geq 0 \Rightarrow \frac{1}{t^{4}+\sqrt[3]{2}t^{2}+\sqrt[3]{4}} \geq \frac{1}{t^{4}+2\sqrt[3]{2}t^{2}+\sqrt[3]{4}}=\frac{1}{(t^{2}+\sqrt[3]{2})^{2}}$
Áp dụng bđt AM - GM:
$t^{3}+\sqrt{2}+\frac{1}{t^{3}+\sqrt{2}} \geq 2$
$\frac{t^{2}+\sqrt[3]{2}}{2}+\frac{t^{2}+\sqrt[3]{2}}{2}+\frac{1}{(t^{2}+\sqrt[3]{2})^{2}} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$
$P\geq 2\sqrt{2}(2-\sqrt{2})+2\sqrt[3]{4}\left(\frac{3}{\sqrt[3]{4}}-\sqrt[3]{2}\right)-3=4\sqrt{2}-5>0$
Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=3$
Ta có ngay $x\geq 2$, do $x\geq 1$ thì trong ngoặc lớn hơn $0$, suy ra $(3x-1)(x-2)\geq 0$ hay $x\geq 2$.
Viết lại $\frac{3x-1}{2(x-2)}=\sqrt[3]{4x-4}+\sqrt{2x-2}$. $(1)$
Giả sử $x\geq 3$ thì khi đó $\frac{3x-1}{2(x-2)}=VP(1)\geq 4$, suy ra $x\leq 3$.
Hoàn toàn tương tự.
P/S: Mình bất chợt nghĩ ra chứ nếu không biết nghiệm thì toang thật
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh