Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

\[\left[f\right]_{E_{3},B},\left[f\,x\right]_{C},\left[f\right]_{B}^{C},\left[x\right]_{B}\]

iuh/@duyenpc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 1351 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi Hôm qua, 08:42

(Câu 3). Cho ánh xạ tuyến tính $f:\;\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ và hai cơ sở của $\mathbb{R}^{3}:$

$$B= \left \{ b_{1}= \left ( 1, 3, 3 \right ), b_{2}= \left ( -3, 6, 5 \right ), b_{3}= \left ( 1, 2, 2 \right ) \right \}$$

$$C= \left \{ c_{1}= \left ( 2, 0, 3 \right ), c_{2}= \left ( -5, -1, -5 \right ), c_{3}= \left ( 1, 0, 1 \right ) \right \}$$

Biết $f\left ( b_{1} \right )= \left ( -5, 6, 4 \right ), f\left ( b_{2} \right )= \left ( -8, 5, 2 \right )$ và $f\left ( b_{3} \right )= \left ( -9, -2, -5 \right ).$

a. Tìm $\left [ f \right ]_{E_{3}}$ suy ra biểu thức của $f\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right ).$

b. Tìm $\left [ f \right ]_{B}.$

c. Từ $\left [ f \right ]_{B}$ tìm $\left [ f \right ]_{B}^{C}.$

d. Cho vector $x= \left ( -2, 3, 3 \right )$ tìm $\left [ x \right ]_{B}$ và $\left [ f\left ( x \right ) \right ]_{C}.$



#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 1351 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi Hôm qua, 09:13

Giải.

a. Biết được cơ sở chính tắc của $\mathbb{R}^{3}:$

$$E_{3}= \left \{ e_{1}= \left ( 1, 0, 0 \right ), e_{2}= \left ( 0, 1, 0 \right ), e_{3}= \left ( 0, 0, 1 \right ) \right \}$$

Từ giả thiết, có được

$f\left ( b_{1} \right )= f\left ( 1, 3, 3 \right )= f\left ( e_{1}+ 3e_{2}+ 3e_{3} \right )= f\left ( e_{1} \right )+ 3f\left ( e_{2} \right )+ 3f\left ( e_{3} \right )= \left ( -5, 6, 4 \right )$

$f\left ( b_{2} \right )= f\left ( -3, 6, 5 \right )= f\left ( -3e_{1}+ 6e_{2}+ 5e_{3} \right )= -3f\left ( e_{1} \right )+ 6f\left ( e_{2} \right )+ 5f\left ( e_{3} \right )= \left ( -8, 5, 2 \right )$

$f\left ( b_{3} \right )= f\left ( 1, 2, 2 \right )= f\left ( e_{1}+ 2e_{2}+ 2e_{3} \right )= f\left ( e_{1} \right )+ 2f\left ( e_{2} \right )+ 2f\left ( e_{3} \right )= \left ( -9, -2, -5 \right )$

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} f\left ( e_{1} \right )= \left ( -17, -18, -23 \right )\\ f\left ( e_{2} \right )= \left ( -79, -89, -112 \right )\\ f\left ( e_{3} \right )= \left ( 83, 97, 121 \right ) \end{matrix}\right.\Rightarrow\left [ f \right ]_{E_{3}}= \begin{pmatrix} -17 & -79 & 83\\ -18 & -89 & 97\\ -23 & -112 & 121 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow f\left ( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right )= \left ( -17x_{1}- 79x_{2}+ 83x_{3}, -18x_{1}- 89x_{2}+ 97x_{3}, -23x_{1}- 112x_{2}+ 121x_{3} \right ).$

b. Có được $P= P_{E\rightarrow B}= \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\ 3 & 6 & 2\\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}\Rightarrow\left [ f \right ]_{B}= P^{-1}\cdot\left [ f \right ]_{E}\cdot P=$

$= \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\ 3 & 6 & 2\\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} -17 & -79 & 83\\ -18 & -89 & 97\\ -23 & -112 & 121 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\ 3 & 6 & 2\\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -8 & -15 & -20\\ 2 & 3 & 3\\ 9 & 16 & 20 \end{pmatrix}.$

c. Có được $Q= P_{E\rightarrow C}= \begin{pmatrix} 2 & -5 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ 3 & -5 & 1 \end{pmatrix}\Rightarrow \left [ f \right ]_{B}^{C}= Q^{-1}\cdot\left [ f \right ]_{E}\cdot P=$

$= \begin{pmatrix} 2 & -5 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ 3 & -5 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} -17 & -79 & 83\\ -18 & -89 & 97\\ -23 & -112 & 121 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\ 3 & 6 & 2\\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9 & 10 & 4\\ 6 & 5 & -2\\ 7 & -3 & -27 \end{pmatrix}$

(hệ quả của công thức chuyển cơ sở).

d. Ta có $\left [ x \right ]_{B}= P_{B\rightarrow E}\cdot\left [ x \right ]_{E}= P^{-1}\cdot\left [ x \right ]_{E}= \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\ 3 & 6 & 2\\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} -2\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7\\ 0\\ -9 \end{pmatrix}.$

Suy ra $\left [ f\left ( x \right ) \right ]_{C}= \left [ f \right ]_{C}^{B}\cdot\left [ x \right ]_{B}= \begin{pmatrix} 9 & 10 & 4\\ 6 & 5 & -2\\ 7 & -3 & 27 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7\\ 0\\ -9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 27\\ 60\\ 292 \end{pmatrix}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: Hôm qua, 15:50






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh