Đến nội dung

Hình ảnh

$$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[5]{\left(1+3x\right)^{2}}-1}{\arcsin x+2\arctan^{2}x}={\it ?}$$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
mainhi27

mainhi27

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

$$\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[5]{\left ( 1+ 3x \right )^{2}}- 1}{\arcsin x+ 2\arctan^{2}x}= {\it ?}\end{equation}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 26-06-2021 - 13:41


#2
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Ta có được

$$\lim_{x\rightarrow 0}\!\left ( \!\sqrt[5]{\left ( 1+ 3x \right )^{2}}- 1 \right )\!= \lim_{x\rightarrow 0}\!\left ( \arcsin x+ 2\arctan^{2}x \right )\!= 0$$

Nên theo quy tắc l'Hôpital

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[5]{\left ( 1+ 3x \right )^{2}}- 1}{\arcsin x+ 2\arctan^{2}x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{6}{5\left ( 1+ 3x \right )^{3/5}}}{\frac{1}{\sqrt{1- x^{2}}}+ \frac{4\arctan x}{1+ x^{2}}}= \frac{6}{5}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 22-06-2021 - 18:56


#3
Thegooobs

Thegooobs

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

$$\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[5]{\left ( 1+ 3x \right )^{2}}- 1}{\arcsin x+ 2\arctan^{2}x}= {\it ?}\end{equation}$$

Em có một lời giải khác cũng khá đẹp ạ.

$\sqrt[5]{(1+3x)^2}-1=\sqrt[5]{1+6x+9x^2}-1 \sim \dfrac{1}{5}(6x+9x^2) \sim \dfrac{1}{5}(6x)$ khi $x \to 0$

$\arcsin x \sim x$ và $2\arctan^2x \sim 2x^2$ khi $x \to 0$ (vì $\arctan x \sim x, x \to 0$ bình phương hai vế và nhân $2$ $\Rightarrow 2\arctan^2 x \sim 2x^2, x \to 0$ )

Nên $\arcsin x +2\arctan^2 x \sim \arcsin x \sim x$ khi $ x \to 0$

Vậy giới hạn ban đầu trở thành 

$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt[5]{(1+3x)^2}-1}{\arcsin x +2\arctan^2 x} = \lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{6}{5}x}{x}=\dfrac{6}{5}$$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 19-02-2024 - 21:11

$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh