Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số dương $k$ lớn nhất sao cho khoảng cách từ mọi điểm nguyên trên mặt phẳng tới đường thẳng $d$ đều không nhỏ hơn $k$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Một điểm trên mặt phẳng nếu có tọa độ đều là số nguyên thì được gọi là điểm nguyên.

Cho đường thẳng $(d): y=ax+b$, trong đó $a$ là một số hữu tỷ khác 0 và $d$ không chứa bất kì điểm nguyên nào. Tìm số dương $k$ lớn nhất sao cho khoảng cách từ mọi điểm nguyên trên mặt phẳng tới đường thẳng $d$ đều không nhỏ hơn $k$.

 

Câu hỏi mở rộng: chúng ta có thể giải bài toán trong trường hợp $a$ vô tỷ không?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Câu hỏi thực chất là tìm hoảng cách nhỏ nhất từ một điểm nguyên đến đường thẳng đã cho.

Mình đăng lời giải của mình lên luôn, ai muốn xem thì xem :) Nhưng câu hỏi mở rộng mới là điều đáng quan tâm nhất :D Vì cách chứng minh dưới đây không áp dụng được cho trường hợp $a$ vô tỷ.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Câu hỏi thực chất là tìm hoảng cách nhỏ nhất từ một điểm nguyên đến đường thẳng đã cho.

Mình đăng lời giải của mình lên luôn, ai muốn xem thì xem :) Nhưng câu hỏi mở rộng mới là điều đáng quan tâm nhất :D Vì cách chứng minh dưới đây không áp dụng được cho trường hợp $a$ vô tỷ.

Với $a$ vô tỷ thì tập $\left ( \left \{ ax+b \right \}|x\in \mathbb{Z} \right )$ trù mật trên $\left [ 0;1 \right ]$, do đó với mọi $\varepsilon >0$, tồn tại $x$ nguyên sao cho $\left \{ ax+b \right \}<\varepsilon$, khi đó ta chọn $y=\left \lfloor ax+b \right \rfloor$ thì $\left | ax+b-y \right |<\varepsilon$. Vì $\sqrt{a^2+1}$ là cố định nên từ đó ta có thể luôn chọn được $x,y\in \mathbb{Z}$ sao cho khoảng cách từ điểm $\left ( x,y \right )$ tới đường thẳng $\left ( d \right )$ là nhỏ tùy ý, vậy $k$ chỉ có thể bằng $0$
Hay là mở rộng cho đa thức luôn cho vui  :icon6:



#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Với $a$ vô tỷ thì tập $\left ( \left \{ ax+b \right \}|x\in \mathbb{Z} \right )$ trù mật trên $\left [ 0;1 \right ]$, do đó với mọi $\varepsilon >0$, tồn tại $x$ nguyên sao cho $\left \{ ax+b \right \}<\varepsilon$, khi đó ta chọn $y=\left \lfloor ax+b \right \rfloor$ thì $\left | ax+b-y \right |<\varepsilon$. Vì $\sqrt{a^2+1}$ là cố định nên từ đó ta có thể luôn chọn được $x,y\in \mathbb{Z}$ sao cho khoảng cách từ điểm $\left ( x,y \right )$ tới đường thẳng $\left ( d \right )$ là nhỏ tùy ý, vậy $k$ chỉ có thể bằng $0$
Hay là mở rộng cho đa thức luôn cho vui  :icon6:

Ngày xưa mình cứ băn khoăn chỗ $\{ ax+b\}$ trù mật trên $[0;1]$, không biết chứng minh ra sao :) Bạn có định lý hay tính chất nào để chứng minh khẳng định này không :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Ngày xưa mình cứ băn khoăn chỗ $\{ ax+b\}$ trù mật trên $[0;1]$, không biết chứng minh ra sao :) Bạn có định lý hay tính chất nào để chứng minh khẳng định này không :D

Từ ${ax}$ trù mật trên $[0;1]$ thôi. Muốn tìm $x$ sao cho $ax+b$ xấp xỉ $y\in \left [ 0;1 \right ]$ tùy ý thì lấy $x$ sao cho $ax$ xấp xỉ ${y-b}$ tùy ý thôi.



#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Từ ${ax}$ trù mật trên $[0;1]$ thôi. Muốn tìm $x$ sao cho $ax+b$ xấp xỉ $y\in \left [ 0;1 \right ]$ tùy ý thì lấy $x$ sao cho $ax$ xấp xỉ ${y-b}$ tùy ý thôi.

Mình có đi tìm và mới đọc mấy chứng minh $ax$ trù mật trên $[0;1]$, giờ mới hiểu ra :)


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Hay là mở rộng cho đa thức luôn cho vui  :icon6:

Nếu mở rộng lên đa thức $(C): y=P(x)$ thì khoảng cách từ điểm $(x_0;y_0)$ đến $(C)$ là $r \ge 0$ sao cho $r^2 = \min\limits_{x} (x-x_0)^2 + (P(x)-y_0)^2$. Có thể tìm cái min này bằng đạo hàm theo $x$, nhưng chỉ cần $P(x)$ là bậc 2 thì phương trình đạo hàm đã là bậc 3 rồi :( Không còn vui lắm.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#8
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Nếu mở rộng lên đa thức $(C): y=P(x)$ thì khoảng cách từ điểm $(x_0;y_0)$ đến $(C)$ là $r \ge 0$ sao cho $r^2 = \min\limits_{x} (x-x_0)^2 + (P(x)-y_0)^2$. Có thể tìm cái min này bằng đạo hàm theo $x$, nhưng chỉ cần $P(x)$ là bậc 2 thì phương trình đạo hàm đã là bậc 3 rồi :( Không còn vui lắm.

Ta sẽ chứng minh với $f(x)$ khả vi thòa mãn $\lim_{x\rightarrow +\infty }{f}'(x)=+\infty$ thì $k=0$
Với mỗi $L>1$, chọn $N$ đủ lớn sao cho $\forall x>N,{f}'(x)>L>1$, ta xét $n>N,n\in \mathbb{Z}$. Theo định lý giá trị trung bình, ta có $\exists c\in \left [ n;n+1 \right ], f(n+1)-f(n)={f}'(c)>1\Rightarrow f(n+1)>f(n)+1$ (vì $c>n>N\Rightarrow {f}'(c)>1$), theo định lý giá trị trung gian, $\exists x\in \left [ n;n+1 \right ], f(x)=\left \lceil f(n)) \right \rceil$ (đây là hàm ceiling, vì ta có $f(n)\leq \left \lceil f(n) \right \rceil<f(n)+1<f(n+1)$. Tiếp tục theo định lý giá trị trung bình, ta có $\exists d\in \left [ n,x \right ], {f}'(d)(x-n)=f(x)-f(n)=\left \lceil f(n) \right \rceil-f(n)<1\Rightarrow n<x<n+\frac{1}{{f}'(d)}<n+\frac{1}{L}$ (vì $d>n>N\Rightarrow {f}'(d)>L$. Vậy ta có khoảng cách giữa điểm nguyên $\left ( n,\left \lceil f(n) \right \rceil \right )$ tới điểm $(x,f(x))$ thuộc đồ thị hàm số là $x-n< \frac{1}{L}$, khoảng cách này có thể bé tùy ý nên $k=0$
Nếu $\lim_{x\rightarrow +\infty }{P}'(x)=-\infty$ thì cũng làm tương tự hoặc đơn giản hơn là đổi dấu, thì ta có $k=0$ với đa thức bậc lớn hơn $1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 23-06-2021 - 11:17


#9
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Ta sẽ chứng minh với $f(x)$ khả vi thòa mãn $\lim_{x\rightarrow +\infty }{f}'(x)=+\infty$ thì $k=0$
Với mỗi $L>1$, chọn $N$ đủ lớn sao cho $\forall x>N,{f}'(x)>L>1$, ta xét $n>N,n\in \mathbb{Z}$. Theo định lý giá trị trung bình, ta có $\exists c\in \left [ n;n+1 \right ], f(n+1)-f(n)={f}'(c)>1\Rightarrow f(n+1)>f(n)+1$ (vì $c>n>N\Rightarrow {f}'(c)>1$), theo định lý giá trị trung gian, $\exists x\in \left [ n;n+1 \right ], f(x)=\left \lceil f(n)) \right \rceil$ (đây là hàm ceiling, vì ta có $f(n)\leq \left \lceil f(n) \right \rceil<f(n)+1<f(n+1)$. Tiếp tục theo định lý giá trị trung bình, ta có $\exists d\in \left [ n,x \right ], {f}'(d)(x-n)=f(x)-f(n)=\left \lceil f(n) \right \rceil-f(n)<1\Rightarrow n<x<n+\frac{1}{{f}'(d)}<n+\frac{1}{L}$ (vì $d>n>N\Rightarrow {f}'(d)>L$. Vậy ta có khoảng cách giữa điểm nguyên $\left ( n,\left \lceil f(n) \right \rceil \right )$ tới điểm $(x,f(x))$ thuộc đồ thị hàm số là $x-n< \frac{1}{L}$, khoảng cách này có thể bé tùy ý nên $k=0$
Nếu $\lim_{x\rightarrow +\infty }{P}'(x)=-\infty$ thì cũng làm tương tự hoặc đơn giản hơn là đổi dấu, thì ta có $k=0$ với đa thức bậc lớn hơn $1$

Lời giải đẹp :D Chỉ chú ý ở chỗ khoảng cách từ điểm nguyên $(n;\left\lceil f(n) \right\rceil)$ tới đồ thị sẽ luôn không lớn hơn $d((n;\left\lceil f(n) \right\rceil); (x;f(x))) = x-n$, tức là nhỏ hơn $\frac{1}{L}$ :)

Vậy thì mọi đa thức bậc 2 trở lên đều chỉ khiến $k=0$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh