Nếu mở rộng lên đa thức $(C): y=P(x)$ thì khoảng cách từ điểm $(x_0;y_0)$ đến $(C)$ là $r \ge 0$ sao cho $r^2 = \min\limits_{x} (x-x_0)^2 + (P(x)-y_0)^2$. Có thể tìm cái min này bằng đạo hàm theo $x$, nhưng chỉ cần $P(x)$ là bậc 2 thì phương trình đạo hàm đã là bậc 3 rồi Không còn vui lắm.
Ta sẽ chứng minh với $f(x)$ khả vi thòa mãn $\lim_{x\rightarrow +\infty }{f}'(x)=+\infty$ thì $k=0$
Với mỗi $L>1$, chọn $N$ đủ lớn sao cho $\forall x>N,{f}'(x)>L>1$, ta xét $n>N,n\in \mathbb{Z}$. Theo định lý giá trị trung bình, ta có $\exists c\in \left [ n;n+1 \right ], f(n+1)-f(n)={f}'(c)>1\Rightarrow f(n+1)>f(n)+1$ (vì $c>n>N\Rightarrow {f}'(c)>1$), theo định lý giá trị trung gian, $\exists x\in \left [ n;n+1 \right ], f(x)=\left \lceil f(n)) \right \rceil$ (đây là hàm ceiling, vì ta có $f(n)\leq \left \lceil f(n) \right \rceil<f(n)+1<f(n+1)$. Tiếp tục theo định lý giá trị trung bình, ta có $\exists d\in \left [ n,x \right ], {f}'(d)(x-n)=f(x)-f(n)=\left \lceil f(n) \right \rceil-f(n)<1\Rightarrow n<x<n+\frac{1}{{f}'(d)}<n+\frac{1}{L}$ (vì $d>n>N\Rightarrow {f}'(d)>L$. Vậy ta có khoảng cách giữa điểm nguyên $\left ( n,\left \lceil f(n) \right \rceil \right )$ tới điểm $(x,f(x))$ thuộc đồ thị hàm số là $x-n< \frac{1}{L}$, khoảng cách này có thể bé tùy ý nên $k=0$
Nếu $\lim_{x\rightarrow +\infty }{P}'(x)=-\infty$ thì cũng làm tương tự hoặc đơn giản hơn là đổi dấu, thì ta có $k=0$ với đa thức bậc lớn hơn $1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 23-06-2021 - 11:17