Đến nội dung

Hình ảnh

Hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có bao nhiêu điểm cực trị

- - - - - cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

  Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới, đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$. Hỏi hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có bao nhiêu điểm cực trị ? 

A. 13 

B. 12

C. 15

D. 11

 

206284170_1157011214724998_1431382018635

 Ngoài ra, mọi người có thể giúp mình tìm ra đa thức của đồ thị f(x) được không ạ ? Mình cảm ơn.



#2
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị ($y'=0$) tại $x=-1$, $x=1$, $x=2$

$y'=2xf'(x^{2}-1)f'\left(f(x^{2}-1)\right)=0$

$x=0$

$f'(x^{2}-1)=0 \Leftrightarrow x^{2}-1\in$ {$-1;1;2$} $\Leftrightarrow x\in$ {$0;\pm\sqrt{2};\pm\sqrt{3}$}

$f'\left(f(x^{2}-1)\right)=0 \Rightarrow f(x^{2}-1)\in$ {$-1;1;2$}

$f(x^{2}-1)=-1 \rightarrow 2$ nghiệm

$f(x^{2}-1)=1 \rightarrow 4$ nghiệm

$f((x^{2}-1)=2 \Leftrightarrow x^{2}-1=2 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3}$

Vậy hàm số $y=f\left(f(x^{2}-1)\right)$ có $11$ điểm cực trị

 

P/s: Bạn nhớ lập luận đạo hàm đổi dấu qua các điểm cực trị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 24-06-2021 - 11:18


#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

  Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới, đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$. Hỏi hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có bao nhiêu điểm cực trị ? 

A. 13 

B. 12

C. 15

D. 11

 

206284170_1157011214724998_1431382018635

 Ngoài ra, mọi người có thể giúp mình tìm ra đa thức của đồ thị f(x) được không ạ ? Mình cảm ơn.

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=1$ hoặc $x=2$.

$y=f(f(x^2-1))\Rightarrow y'=2xf'(x^2-1)f'(f(x^2-1))$

Đặt $u(x)=f'(x^2-1)$ ; $v(x)=f'(f(x^2-1))$ $\Rightarrow y'=2x.u(x).v(x)$

$u(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-1=-1\\x^2-1=1\\x^2-1=2 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt3 \end{array}\right.$

Gọi giao điểm của đường thẳng $y=-1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $A,B,C$ ($x_A< -1< x_B< x_C=2$)

       giao điểm của đường thẳng $y=1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $D,E,F,G$ ($x_D< -1< x_E< x_F<x_G$)

       giao điểm của đường thẳng $y=2$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $H,I,K$ ($x_H< -1< x_I=1< x_K$)

Đặt $x_A+1=a$ ; $x_B+1=b$ ; $x_C+1=c$ ; ...

Ta có $y'=2x.u(x).v(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt b\\x=\pm \sqrt{e}\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt f\\x=\pm \sqrt 3\\x=\pm \sqrt g\\x=\pm \sqrt k \end{array}\right.$ (tất cả là $15$ giá trị của $x$)

Chú ý rằng mỗi khi $x$ đi qua bất kỳ giá trị nào trong $15$ giá trị kể trên thì chỉ có $x$ hoặc $u(x)$ hoặc $v(x)$ (một trong ba) đổi dấu mà thôi. Suy ra hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có đúng $15$ điểm cực trị.

 

-----------------------------------------------------------------------------

Tìm đa thức $f(x)$ ?  (Theo đồ thị, đa thức $f(x)$ là bậc chẵn)

Giả sử đa thức là bậc $6$, tức là $f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx$ (vì $f(0)=0$)

và $f'(x)=6ax^5+5bx^4+4cx^3+3dx^2+2ex+f$

Ta có $\left\{\begin{matrix}f(1)=2\\f(2)=-1\\f'(1)=0\\f'(-1)=0\\f'(2)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b+c+d+e+f=2\\64a+32b+16c+8d+4e+2f=-1\\6a+5b+4c+3d+2e+f=0\\-6a+5b-4c+3d-2e+f=0\\192a+80b+32c+12d+4e+f=0 \end{matrix}\right.$

Hệ này có vô số nghiệm. Nếu chọn $b=0$, ta có $f(x)=\frac{29}{148}\ x^6-\frac{93}{74}\ x^4-\frac{21}{37}\ x^3+\frac{285}{148}\ x^2+\frac{63}{37}\ x$.

(Nếu ban đầu giả sử đa thức bậc $4$ thì vô nghiệm, còn giả sử nó là bậc chẵn lớn hơn $6$ thì cũng vô số đa thức thỏa mãn)
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-07-2021 - 13:45

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh