cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh rằng $(a^5-2a+4)(b^5-2b+4)(c^5-2c+4) \ge 9(ab+bc+ac)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-06-2021 - 21:04
Tiêu đề + LaTeX
cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh rằng $(a^5-2a+4)(b^5-2b+4)(c^5-2c+4) \ge 9(ab+bc+ac)$
Ý tưởng khá quen thuộc
B1: Chứng minh $VP\leq (a+b+c)^3$
Thật vậy với AmGm 3 số
$VP^2=27.(a^2+b^2+c^2).(ab+bc+ac)^2\leq (a+b+c)^6$
B2: Chứng minh $VT\geq (a+b+c)^3$
AmGm 5 số có
$a^5-2a+4=\frac{1}{5}(a^5+a^5+1+1+1)-2a+1+\frac{1}{5}(a^5+a^5+a^5+1+1+10)\geq (a-1)^2+\frac{1}{5}(5a^3+10)\geq a^3+2$
Áp dụng Holder 3 số
$VT\geq (a^3+1+1)(b^3+1+1)(c^3+1+1)\geq (a+b+c)^3$
Xảy ra khi $a=b=c=1$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh