Đến nội dung

Hình ảnh

$\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

* * * * * 5 Bình chọn #hình học #hình học phẳng #hình học 10 #olympic hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 66 trả lời

#41
youknower

youknower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Bài 17:

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $(O)$ và $BC$ cố định, $A$ thay đổi trên $(O). BE, CF$ là 2 đường cao của tam giác $ABC$. 

a. Chứng minh tồn tại duy nhất 2 điểm $M, N$ trên đoạn thẳng $BE, CF$ sao cho $(NFB)$ tiếp xúc $(NEC), (MFB)$ tiếp xúc $(MEC)$

b. $P$ đối xứng $M$ qua $E, Q$ đối xứng $N$ qua $F$. Chứng minh giao điểm $PN, QM$ thuộc 1 đường cố định


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 28-08-2021 - 19:32


#42
netcomath

netcomath

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Thấy mấy bài căng quá, mình đăng thêm bài nhẹ nhẹ xíu :D

Bài 18: Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I có P là điểm bất kì trên cung BC không chứa A. Đường thẳng PB cắt đường tròn (AIB) tại M. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp (AIC) tại N. Chứng minh P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

2021c5ff3473-6abe-4344-a7a8-73577a8cc528



#43
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Thấy mấy bài căng quá, mình đăng thêm bài nhẹ nhẹ xíu :D

Bài 18: Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I có P là điểm bất kì trên cung BC không chứa A. Đường thẳng PB cắt đường tròn (AIB) tại M. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp (AIC) tại N. Chứng minh P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

 

$MAP=MAI-PAI=IBP-(PAC-IAC)=(\frac{B}{2}+PBC)-(PAC-\frac{A}{2})=\frac{B}{2}+\frac{A}{2}$

$AMP=AMI+IMB=\frac{B}{2}+\frac{A}{2}$

$\Rightarrow PA=PM$, tương tự $PA=PN$ 

$\Rightarrow P$ là tâm $(AMN)$



#44
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Bài 17:

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $(O)$ và $BC$ cố định, $A$ thay đổi trên $(O). BE, CF$ là 2 đường cao của tam giác $ABC$. 

a. Chứng minh tồn tại duy nhất 2 điểm $M, N$ trên đoạn thẳng $BE, CF$ sao cho $(NFB)$ tiếp xúc $(NEC), (MFB)$ tiếp xúc $(MEC)$

b. $P$ đối xứng $M$ qua $E, Q$ đối xứng $N$ qua $F$. Chứng minh giao điểm $PN, QM$ thuộc 1 đường cố định

Gợi ý: a) $M,N$ nằm trên đường tròn đường kính $AB, AC$
            b) Gọi $X$ là giao điểm của $PN, QM$, $H$ là giao điểm của $BE,CF$ thì ta có $B,X,C$ nằm trên đường đối cực của $H$ qua đường tròn tâm $A$ bán kính $AM$.


Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#45
youknower

youknower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Bài 18:

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ cạnh $a$ có $M$ trung điểm $BC. E, F$ là $2$ điểm bất kì trên $AB, AC$. Đặt $\frac{AE}{BE} =t$

Tính $\frac{CF}{AF}$ theo $a,d,t$ để $M$ cách $EF$ một khoảng $d$ cho trước 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 31-08-2021 - 16:13


#46
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{19}$: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trung điểm $AB,AC$ lần lượt là $E,F.A $là 1 điểm di động trên $(O)$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt $OE,OF$ tại $K,L$.

a) Chứng minh rằng $K,L,M,N$ đồng viên

b) Gọi $J$ là tâm của $(KLMN)$. Chứng minh rằng $AJ$ đi qua 1 điểm cố định.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 17-09-2021 - 14:28

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#47
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{20}$: Cho $\triangle ABC$ nhọn sao cho $\angle BAC = 30^o$. Hai đường phân giác trong và ngoài góc $B$ cắt $AC$ lần lượt tại $B_1$ và $B_2$. Hai đường phân giác trong và ngoài có $C$ cắt $AB$ lần lượt tại $C_1$ và $C_2$. Giả sử đường tròn đường kính $B_1B_2$ cắt đường tròn đường kính $C_1C_2$ tại điểm $P$ nằm trong $\triangle ABC$. Chứng minh rằng $\angle BPC = 90^o$.

                                                                                      (Trích từ đề thi chuyên Thái Bình 2021 - Cre: Anh Tuốt Biết)   


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 18-09-2021 - 19:45

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#48
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

$\boxed{21}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$ và trực tâm $H$. $OI$ cắt  $BC$, $CA$, $AB$ tại $D$, $E$, $F$. Đường thẳng qua $F$ $\perp$ $OB$ cắt đường thẳng qua $E$ $\perp$ $OC$ tại $X$. Định nghĩa tương tự với $Y$,$Z$.
a) Chứng minh $X$, $Y$, $Z$ thẳng hàng.
b) Chứng minh đường thẳng đi qua 3 điểm $X$, $Y$, $Z$ đi qua điểm $Anti Steiner$ của $HI$ đối với $\Delta ABC$. 
Nguồn: Nguyễn Duy Phước


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaiphongLT: 19-09-2021 - 01:43

ズ刀Oア


#49
narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

bài 21 có vẻ hơi ko phù hợp cho hs lớp 10 nhỉ : )))

 

 

Enable GingerCannot connect to Ginger Check your internet connection
or reload the browserDisable in this text fieldRephraseRephrase current sentenceEdit in Ginger×


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 04-10-2021 - 09:05


#50
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

$\boxed{22}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Lấy $M$, $P$ thuộc $AB$ sao cho $AM$ $=$ $BP$. $N$, $Q$ thuộc $AC$ sao cho $AN$ $=$ $CQ$. $(AMN)$ và $(APQ)$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$. $(AMN)$ cắt $(APQ)$ tại $D$. $G$ đối xứng với $A$ qua $D$. Chứng minh $AEGF$ là tứ giác điều hòa.
P/s: Đề kiểm tra lớp mk vừa rồi :lol:


ズ刀Oア


#51
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{22}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Lấy $M$, $P$ thuộc $AB$ sao cho $AM$ $=$ $BP$. $N$, $Q$ thuộc $AC$ sao cho $AN$ $=$ $CQ$. $(AMN)$ và $(APQ)$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$. $(AMN)$ cắt $(APQ)$ tại $D$. $G$ đối xứng với $A$ qua $D$. Chứng minh $AEGF$ là tứ giác điều hòa.
P/s: Đề kiểm tra lớp mk vừa rồi :lol:

Hehe :3 
Tóm tắt he  :D: Gọi $X,Y$ là trung điểm của $AB,AC$. Chứng minh được $A,X,D,Y$ đồng viên mà $A, X, O, Y$ đồng viên.

Suy ra: $G$ nằm trên $(O)$ 

Đến đây thì dễ rồi: Chứng minh $DA$ là phân giác $\angle FDE$. Từ đó ta được điều phải chứng minh thôi  :icon10:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 20-10-2021 - 21:44

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#52
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Tiếp ngày kiểm tra thứ 2  :icon6: 
$\boxed{23}$ Cho hình bình hành $ABCD$, đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BD$ cắt $CD$, $CB$ tại $E$, $F$. Gọi $P$ đối xứng với $E$ qua $D$, $Q$ đối xứng với $F$ qua $B$. Các đường thẳng qua $A$, $P$, $Q$ theo thứ tự vuông góc với $AE$, $CD$, $CB$ cắt nhau tạo thành $\Delta XYZ$. Chứng minh $(XYZ)$ tiếp xúc với $(CDB)$.


ズ刀Oア


#53
LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Tiếp ngày kiểm tra thứ 2  :icon6: 
$\boxed{23}$ Cho hình bình hành $ABCD$, đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BD$ cắt $CD$, $CB$ tại $E$, $F$. Gọi $P$ đối xứng với $E$ qua $D$, $Q$ đối xứng với $F$ qua $B$. Các đường thẳng qua $A$, $P$, $Q$ theo thứ tự vuông góc với $AE$, $CD$, $CB$ cắt nhau tạo thành $\Delta XYZ$. Chứng minh $(XYZ)$ tiếp xúc với $(CDB)$.

(CEF) cắt (CBD) tại G.

Gọi H là giao của EF với BD.

Ta có $\angle GFE=\angle GCE=\angle GBH\Rightarrow (GFBH)$. 

Do đó $\angle BGF=90^o$. Tương tự $\angle DGE=90^o$.

Gọi T đối xứng với A qua B.

Có $\Delta ADE\sim\Delta FBA$ nên $FT||AP$. Mà $FT||AQ$ nên $A,P,Q$ thẳng hàng.

Dễ thấy $\Delta GDE\sim\Delta GBF$ nên $\angle PGD=\angle QGB$. Do đó $\angle PGQ=\angle DGB=\angle PCQ$ nên $P,G,C,Q$ đồng viên.

Từ đó $\Delta GPQ\sim\Delta GDB$. Mà $\frac{AP}{AQ}=\frac{PD}{AB}=\frac{ED}{AB}=\frac{DH}{BH}$ nên $\angle PGA=\angle DGH=\angle DEH$. Suy ra $G\in (PEA)$. Từ đó $G\in (PEAY)$.

Do đó $\angle YGE=90^o=\angle DGE$ nên $G,D,Y$ thẳng hàng. Tương tự G, B, Z thẳng hàng.

Mặt khác dễ thấy Y, G, C, Z đồng viên nên $G\in (XYZ)$. Mà $BD||YZ$ nên (GXYZ) tiếp xúc với (GBCD). (đpcm)

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#54
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{24}$: Cho $\triangle ABC$ và $M$ là một điểm nằm trong đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$.

a/ Chứng minh rằng $AM.BC,BM.AC,CM.AB$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác $\triangle$.

b/ Tìm vị trí điểm $M$ sao cho điện tích tam giác $\triangle$ là lớn nhất.
 


Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#55
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{25}$: Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. $P$ là một điểm bất kì nằm trên cung $BC$ không chứa $A$. Gọi $P'$ là điểm đối xứng của $P$ qua $BC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle OPP'$ cắt $AP$ tại $G$. Chứng minh trực tâm của tam giác $AGO$ nằm trên $HP'$.  


Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#56
LTBN

LTBN

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

$\boxed{25}$: Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. $P$ là một điểm bất kì nằm trên cung $BC$ không chứa $A$. Gọi $P'$ là điểm đối xứng của $P$ qua $BC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle OPP'$ cắt $AP$ tại $G$. Chứng minh trực tâm của tam giác $AGO$ nằm trên $HP'$.  

Giả sử $(O)$ là $(ABC)$.

$(OPP')$ cắt lại $(O)$ tại $F$.

Ta có $\angle FOG=\angle FPG=\frac{\angle FOA}{2}$ nên OG là phân giác của $\angle FOA$.

Suy ra A, F đối xứng với nhau qua OG.

Gọi E là trực tâm $\Delta AGO$ thì A, E, F thẳng hàng.

Gọi $D$ là điểm đối xứng với H qua BC.

Ta có $(P'O,P'E)\equiv (GO,GE)\equiv (AE,AO)\equiv \frac{\pi}{2}+(GO,AO)\equiv \frac{\pi}{2}+(GO,GA)+(AG,AO)\equiv \frac{\pi}{2}+(P'O,P'P)+(AP,AO)\equiv (P'O,BC)+\frac{\pi}{2}+\frac{(OP,OA)}{2}\equiv (P'O,BC)+\frac{\pi}{2}+(DP,DA)\equiv (P'O,BC)+(DP,BC)\equiv (P'O,BC)+(BC,HP')\equiv (P'O,HP')(\mod\pi)$.

Vậy E, H, P' thẳng hàng.

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#57
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Giả sử $(O)$ là $(ABC)$.

$(OPP')$ cắt lại $(O)$ tại $F$.

Ta có $\angle FOG=\angle FPG=\frac{\angle FOA}{2}$ nên OG là phân giác của $\angle FOA$.

Suy ra A, F đối xứng với nhau qua OG.

Gọi E là trực tâm $\Delta AGO$ thì A, E, F thẳng hàng.

Gọi $D$ là điểm đối xứng với H qua BC.

Ta có $(P'O,P'E)\equiv (GO,GE)\equiv (AE,AO)\equiv \frac{\pi}{2}+(GO,AO)\equiv \frac{\pi}{2}+(GO,GA)+(AG,AO)\equiv \frac{\pi}{2}+(P'O,P'P)+(AP,AO)\equiv (P'O,BC)+\frac{\pi}{2}+\frac{(OP,OA)}{2}\equiv (P'O,BC)+\frac{\pi}{2}+(DP,DA)\equiv (P'O,BC)+(DP,BC)\equiv (P'O,BC)+(BC,HP')\equiv (P'O,HP')(\mod\pi)$.

Vậy E, H, P' thẳng hàng.

Hay! Anh cũng dùng góc mà quên mất có nhiều trường hợp hình  :wub:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 12DecMath: 22-10-2021 - 21:03

Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#58
Forthewin

Forthewin

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

$\boxed{26}$: Gọi $I, K$ là tâm đường tròn nội tiếp lần lượt của 2 tam giác $ABC$ và $DBC$. Chứng minh độ dài $IK$ không vượt quá $AD$



#59
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{26}$: Gọi $I, K$ là tâm đường tròn nội tiếp lần lượt của 2 tam giác $ABC$ và $DBC$. Chứng minh độ dài $IK$ không vượt quá $AD$

$D$ là gì nhỉ bạn?


Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#60
Forthewin

Forthewin

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

$D$ là gì nhỉ bạn?

D là 1 điểm bất kỳ :D







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: #hình học, #hình học phẳng, #hình học 10, #olympic hình học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh