Đến nội dung

Hình ảnh

$\boxed{TOPIC}$: HÌNH HỌC PHẲNG 10

* * * * * 5 Bình chọn #hình học #hình học phẳng #hình học 10 #olympic hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 66 trả lời

#61
pntoi oni10420

pntoi oni10420

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

$\boxed{22}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Lấy $M$, $P$ thuộc $AB$ sao cho $AM$ $=$ $BP$. $N$, $Q$ thuộc $AC$ sao cho $AN$ $=$ $CQ$. $(AMN)$ và $(APQ)$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$. $(AMN)$ cắt $(APQ)$ tại $D$. $G$ đối xứng với $A$ qua $D$. Chứng minh $AEGF$ là tứ giác điều hòa.
P/s: Đề kiểm tra lớp mk vừa rồi :lol:

Xin trình bày cách khác:
Gọi I, J trung điểm AE, AF. 
Chứng minh AIDJ điều hòa (AE, AF lần lượt là tiếp tuyến của (APQ) và (AMN) + biến đổi góc)
Suy ra AEGF điều hòa 



#62
pntoi oni10420

pntoi oni10420

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

Tiếp ngày kiểm tra thứ 2  :icon6: 
$\boxed{23}$ Cho hình bình hành $ABCD$, đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BD$ cắt $CD$, $CB$ tại $E$, $F$. Gọi $P$ đối xứng với $E$ qua $D$, $Q$ đối xứng với $F$ qua $B$. Các đường thẳng qua $A$, $P$, $Q$ theo thứ tự vuông góc với $AE$, $CD$, $CB$ cắt nhau tạo thành $\Delta XYZ$. Chứng minh $(XYZ)$ tiếp xúc với $(CDB)$.

Sử dụng hình của bạn Hoang72
Dễ thấy P,A,Q thẳng hàng. Ta có AYPE, AFZQ nội tiếp
Nên $\Delta YPE\sim \Delta ZQF(g-g)\Rightarrow \Delta YPD\sim \Delta ZQB(c-g-c)$ (D,B trung điểm PE, QF) nên PYD=BZQ
YD cắt ZB tại G thì G thuộc (XYZ) và G thuộc (BCD). Mà YZ//BD nên theo bổ đề Reim thì (XYZ) tiếp xúc (BCD)



#63
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Dưới đây là 2 bài khai thác điểm Fermat: 

$\boxed{27}$: Cho tam giác $ABC$ có điểm $F$ là điểm Fermat. $AF,BF,CF$ cắt $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ tiếp xúc với đường tròn Euler của tam giác $ABC$.

$\boxed{28}$: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp có điểm $F$ là điểm Fermat. $AF,BF,CF$ cắt $(O)$ tại $X,Y,Z$. Gọi $H_1,H_2$ là các trực tâm của tam giác $ABC$ và $XYZ$. Chứng minh $F$ là trọng tâm của tam giác $H_1H_2O$. 


Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#64
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

$\boxed{29}$ Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ nội tiếp $(O)$, $D$ thuộc $BC$ và dựng hình bình hành $AEDF$ ($E$, $F$ thuộc $AC$, $AB$). $G$ đối xứng với $D$ qua $EF$. $DE$ cắt $(AEF)$ tại $H$ . $K$ thuộc $(O)$ sao cho $\widehat{KGH}=90^{\circ}$ , $L$ thuộc $(AEF)$ sao cho $\widehat{LGC}=90^{\circ}$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là tâm $(GKD)$, $(GLD)$. Chứng minh $AGQP$ nội tiếp
P/s: bài này hay :icon6:


ズ刀Oア


#65
12DecMath

12DecMath

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

$\boxed{29}$ Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ nội tiếp $(O)$, $D$ thuộc $BC$ và dựng hình bình hành $AEDF$ ($E$, $F$ thuộc $AC$, $AB$). $G$ đối xứng với $D$ qua $EF$. $DE$ cắt $(AEF)$ tại $H$ . $K$ thuộc $(O)$ sao cho $\widehat{KGH}=90^{\circ}$ , $L$ thuộc $(AEF)$ sao cho $\widehat{LGC}=90^{\circ}$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là tâm $(GKD)$, $(GLD)$. Chứng minh $AGQP$ nội tiếp
P/s: bài này hay :icon6:

ủa sao mình vẽ không được nhỉ  :(


Nhìn chữ kí đẹp quá uWu
Em làm cho đẹp uWu 


#66
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

ủa sao mình vẽ không được nhỉ  :(

Đề đúng r mà :mellow:
geogebra-export.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaiphongLT: 26-10-2021 - 01:17

ズ刀Oア


#67
dat09

dat09

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết

$\boxed{29}$ Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ nội tiếp $(O)$, $D$ thuộc $BC$ và dựng hình bình hành $AEDF$ ($E$, $F$ thuộc $AC$, $AB$). $G$ đối xứng với $D$ qua $EF$. $DE$ cắt $(AEF)$ tại $H$ . $K$ thuộc $(O)$ sao cho $\widehat{KGH}=90^{\circ}$ , $L$ thuộc $(AEF)$ sao cho $\widehat{LGC}=90^{\circ}$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là tâm $(GKD)$, $(GLD)$. Chứng minh $AGQP$ nội tiếp
P/s: bài này hay :icon6:

H4.png

Gọi $I$ là tâm của $(AEF)$. Dễ thấy $\angle FAE = \angle FDE = \angle FGE$ và $EG=ED=AF$ nên tứ giác $AFEG$ là hình thang cân. Vì $\angle GEC = \angle GFB$ và $\frac{GE}{GF}=\frac{AF}{AE}=\frac{EC}{FB}$ nên $\Delta GEC \sim \Delta GFB$. Suy ra $\angle GCE = \angle GBF$. Do đó $G$ thuộc $(O)$, cho nên $OI$ là trung trực của $AG$ và $EF$. Ta có $OP \perp KG$, $P,Q$ nằm trên trung trực của $DG$ (đường thẳng $EF$), suy ra $\angle OPQ = \angle DGK = \angle DGH - 90^0 = 90^0 - \angle GHD - \angle GDH = 90^0 - \angle GFE - \angle EGD = \angle EGF = \angle BAC$. Mặt khác $O$ thuộc $(AEF)$ do $\Delta OAF = \Delta OCE$. Kết hợp với $IQ||CG$ (cùng vuông góc với $GL$), suy ra $\angle IQF = (CG,EF) = (CG,GA) = \angle ABC = 90^0 - \frac{BAC}{2} = \angle IOF$. Từ đó, $\angle OQP = \angle OIF = \angle BAC$. Do vậy $\angle OPQ = \angle OQP$. Lại có $OI \perp PQ$ nên $OI$ là trung trực của $PQ$. Vậy tứ giác $AGQP$ là hình thang cân hay $AGQP$ nội tiếp.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dat09: 11-09-2022 - 20:08






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: #hình học, #hình học phẳng, #hình học 10, #olympic hình học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh