Chủ đề này có 1 trả lời

[darkangle249]

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=2\widehat{B}=4\widehat{C}$, $AD,BE,CF$ lần lượt là các đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác $DEF$ cân

[Dark Repulsor]

Trâu bò vậy 

Ký hiệu $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$

$\angle A=\frac{4\pi}{7}$ ; $\angle B=\frac{2\pi}{7}$ ; $\angle C=\frac{\pi}{7}=x$

Theo định lý sin: $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$

$\frac{AE}{CE}=\frac{c}{a} \Rightarrow \frac{AE}{c}=\frac{b}{a+c}=\dfrac{sinB}{sinA+sinC}=\dfrac{sin2x}{sin4x+sinx}=\dfrac{sin2x}{sin3x+sinx}=\dfrac{sin2x}{2sin2x.cosx}=\dfrac{1}{2cosx}$          ($1$)

$\frac{BF}{AF}=\frac{a}{b} \Rightarrow \frac{BF}{c}=\frac{a}{a+b}=\dfrac{sinA}{sinA+sinB}=\dfrac{sin4x}{sin4x+sin2x}=\dfrac{sin4x}{2sin3x.cosx}=\dfrac{sin4x}{2sin4x.cosx}=\dfrac{1}{2cosx}$          ($2$)

Từ ($1$) và ($2$) suy ra $AE=BF$

$\angle BAD=\frac{\angle A}{2}=\angle B \Rightarrow \Delta ABD$ cân tại $D$ $\Rightarrow DA=DB$

Kết hợp với $\angle DAE=\frac{\angle A}{2}=\angle B$ suy ra $\Delta ADE=\Delta BDF \Rightarrow DE=DF \Rightarrow \Delta DEF$ cân tại $D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 27-06-2021 - 22:17