Chủ đề này có 1 trả lời

[i love math 12]

Cho hàm số bậc bốn f(x) có f(0)=1 và hàm số f'(x) có đồ thị trong hình bên, số nghiệm của phương trình $f(x^2)-x=3$ là?

Hình gửi kèm

• 

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số bậc bốn f(x) có f(0)=1 và hàm số f'(x) có đồ thị trong hình bên, số nghiệm của phương trình $f(x^2)-x=3$ là?

Sửa lại đề : "...số nghiệm THỰC của phương trình $f(x^2)-x=3$ là ?"

-----------------------------------------------------------

 

Hàm $f(x)$ có dạng $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+1\Rightarrow f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$.

Phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm kép $x=0$ và một nghiệm âm $\Rightarrow f'(x)=x^2(4ax+3b)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}c=d=0\\ab> 0 \end{matrix}\right.$

Hơn nữa $\lim_{x\to -\infty}f'(x)=\lim_{x\to -\infty}\left ( 4ax^3+3bx^2 \right )=-\infty\Rightarrow a> 0$. Vậy $b> 0$.

$f(x)=ax^4+bx^3+1\Rightarrow f(x^2)-x=ax^8+bx^6-x+1$.

$f(x^2)-x=3\Leftrightarrow ax^8+bx^6-x+1=3\Leftrightarrow ax^8+bx^6=x+2.$

Đặt $g(x)=ax^8+bx^6$ ($a> 0,b> 0$) ; $h(x)=x+2$.

Hàm $g(x)$ nghịch biến trên $(-\infty;0)$, đồng biến trên $(0;+\infty)$, $g(0)< h(0)$ và khi $x\to \pm\infty$ thì $g(x)> h(x)$. Từ đó suy ra đồ thị của $g(x)$ và $h(x)$ có đúng $2$ giao điểm $\Rightarrow$ phương trình $f(x^2)-x=3$ có đúng $2$ nghiệm thực.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-06-2021 - 16:30