Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z^2-w^2|$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
mika1112

mika1112

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

1) Cho các số phức $z$, $w$ thỏa mãn $|z| = |w| = |z + iw| = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z^2-w^2 |$.

2) Tìm các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2^{mx} = m^2 x + 1$ có nghiệm thuộc khoảng $(1; 2)$?



#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Đặt $z=2\cos{t}+2i\sin{t}$ và $u=2\cos{u}+2i\sin{u}$.

Do $z+iw$ cũng thuộc đường tròn tâm $(O,2)$ nên $(\cos{t}-\sin{u})^2+(\sin{t}+\cos{u})^2=1$. $(1)$

:) Chỗ này biến đổi không khó lắm, làm quen kiểu lượng giác số phức thì ok.

$(1)$ tương đương $\cos{t}\sin{u}-\sin{t}\cos{u}=\dfrac{1}{2}$ hay $\sin{(u-t)}=\dfrac{1}{2}$.

Vậy $u-t=\dfrac{\pi}{6}$.

 

P/S: Có thể kết luận là $z$ và $iw$ tạo thành $2$ vector có góc $\dfrac{2\pi}{3}$.

 

Cái biểu thức tính gtnn hơi lạ, vì nó sẽ ra const :)

Ở đây $z^2$ sẽ quay một góc là $2t$, còn $w^2$ sẽ quay một góc là $2u$. (So với trục $Ox$)

Nhưng khi đó vector $z^2$ cách vector $w^2$ là $\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$, mà $-w^2$ ngược chiều với $w^2$.

Nên $z^2$ cách $-w^2$ một góc là $\dfrac{2\pi}{3}$.

:) Tới đây thì ra $2$ vector cùng độ dài $z^2$ và $-w^2$ cũng tạo thành góc $\dfrac{2\pi}{3}$.

Suy ra $|z^2-w^2|=|z^2|=|w^2|=4$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 27-06-2021 - 14:50

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
mika1112

mika1112

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đặt $z=2\cos{t}+2i\sin{t}$ và $u=2\cos{u}+2i\sin{u}$.

Do $z+iw$ cũng thuộc đường tròn tâm $(O,2)$ nên $(\cos{t}-\sin{u})^2+(\sin{t}+\cos{u})^2=1$. $(1)$

:) Chỗ này biến đổi không khó lắm, làm quen kiểu lượng giác số phức thì ok.

$(1)$ tương đương $\cos{t}\sin{u}-\sin{t}\cos{u}=\dfrac{1}{2}$ hay $\sin{(u-t)}=\dfrac{1}{2}$.

Vậy $u-t=\dfrac{\pi}{6}$.

 

P/S: Có thể kết luận là $z$ và $iw$ tạo thành $2$ vector có góc $\dfrac{2\pi}{3}$.

 

Cái biểu thức tính gtnn hơi lạ, vì nó sẽ ra const :)

Ở đây $z^2$ sẽ quay một góc là $2t$, còn $w^2$ sẽ quay một góc là $2u$.

Nhưng khi đó vector $z^2$ cách vector $w^2$ là $\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$, mà $-w^2$ ngược chiều với $w^2$.

Nên $z^2$ cách $-w^2$ một góc là $\dfrac{2\pi}{3}$.

:) Tới đây thì ra $2$ vector cùng độ dài mà tạo thành hình thoi nên vector tổng bằng luôn độ dài vector thành phần.

Suy ra $|z^2-w^2|=|z^2|=|w^2|=4$.

Em không biết lượng giác số phức ạ  :(

Em đọc thì hơi hơi hiểu nhưng lúc làm bài làm thế nào mà chị nghĩ ra được phương pháp làm ạ?

Chị làm cho em bài 2 nữa ạ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mika1112: 27-06-2021 - 14:00


#4
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

- Ý tưởng số phức lượng giác đến vì sao?

Thực tế, nếu đặt $z=a+bi$ và $w=c+di$, chắc là cũng ra, tuy nhiên khi đó nhiều biến và mối quan hệ giữa $z$ và $w$ phụ thuộc vào $(a,b,c,d)$ (rườm rà).

Chưa kể việc tìm gtnn của $|z^2-w^2|$ cũng cần tới cách đặt $z$ và $w$ nên áp dụng lượng giác vào đây là tương đối hợp lí.

 

- Tại sao $z^2$ lại quay một góc $x$ theo chiều dương với $z=\cos{x}+i\sin{x}$?

Số phức thông qua công thức Euler, ta có $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$, chính vì vậy $z^2=e^{i.2x}=\cos{2x}+i\sin{2x}$. (Nên nó thành $2x$ thoi)

Hoặc là bình phương lên thẳng, cũng sẽ $z^2=\cos^2{x}-\sin^2{x}+i.2\cos{x}\sin{x}=\cos{2x}+i\sin{2x}$.

 

P/S: :D Bài $2$ anh cũng không rõ cách làm lắm. (Nam nhá :) Tại để giới tính vui thoi)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 27-06-2021 - 14:52

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#5
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Bài $2$: Ta có $2$ nhận xét:

$m=0$: Pt nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$

$x=0$ luôn là nghiệm của pt với mọi $m\in \mathbb{R}$

Xét $2$ TH:

TH1: $m\in \mathbb{Z^{-}}$

Đặt $n=-m$ ($n\in \mathbb{Z^{+}}$). Viết lại pt: $\dfrac{1}{2^{nx}}=n^{2}x+1 \Leftrightarrow 2^{nx}(n^{2}x+1)=1$

$x>0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{nx}>1 \\ n^{2}x+1>1 \end{matrix}\right. \Rightarrow VT>1$

$x<0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0<2^{nx}<1 \\ n^{2}x+1<1 \end{matrix}\right. \Rightarrow VT>1$

Do đó $\nexists m\in \mathbb{Z^{-}}$ để pt có nghiệm thuộc ($1;2$)

TH2: $m\in \mathbb{Z^{+}}$

Xét hàm số $f(x)=2^{mx}-m^{2}x-1$ trên ($1;2$)

$f'(x)=m\left(ln2.2^{mx}-m\right)>0 \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên ($1;2$)

$f(1)=2^{m}-m^{2}-1$ ; $f(2)=4^{m}-2m^{2}-1$

Để pt có nghiệm thuộc ($1;2$) thì $\left\{\begin{matrix} 2^{m}-m^{2}-1<0 \\ 4^{m}-2m^{2}-1>0 \end{matrix}\right.$

$m=1$ không thỏa mãn hệ trên. Xét $m\geq 2$:

Xét hàm số $g(m)=2^{m}-m^{2}-1$ trên [$2;+\infty$)

$g'(m)=2\left(ln2.2^{m-1}-1\right)>0 \Rightarrow g(m)$ đồng biến trên [$2;+\infty$)

$m=2;3;4$ thỏa mãn. Xét $m\geq 5 \Rightarrow g(m)\geq g(5)=6>0$ (loại)

Xét hàm số $h(m)=4^{m}-2m^{2}-1$ trên [$1;+\infty$)

$h'(m)=4\left(ln4.4^{m-1}-1\right)>0 \Rightarrow h(m)$ đồng biến trên [$1;+\infty$) $\Rightarrow h(m)\geq h(1)=1>0$

Kết luận: $m=0;2;3;4$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 27-06-2021 - 18:43


#6
mika1112

mika1112

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

$f'(x)=m\left(ln2.2^{mx}-1\right)>0 \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên ($1;2$)

Chỗ này $f'(x)=m(ln2.2^{mx}-\color{red}{m})$ ạ. Nhưng mà may là nó vẫn dương.

 

Để pt có nghiệm thuộc ($1;2$) thì $\left\{\begin{matrix} 2^{m}-m^{2}-1<0 \\ 4^{m}-2m^{2}-1>0 \end{matrix}\right.$

$m=1$ thỏa mãn hệ trên. Xét $m\geq 2$:

Xét hàm số $g(m)=2^{m}-m^{2}-1$ trên [$2;+\infty$)

$g'(m)=2\left(ln2.2^{m-1}-1\right)>0 \Rightarrow g(m)$ đồng biến trên [$2;+\infty$)

$m=2;3;4$ thỏa mãn. Xét $m\geq 5 \Rightarrow g(m)\geq g(5)=6>0$ (loại)

Xét hàm số $h(m)=4^{m}-2m^{2}-1$ trên [$1;+\infty$)

$h'(m)=4\left(ln4.4^{m-1}-1\right)>0 \Rightarrow h(m)$ đồng biến trên [$1;+\infty$) $\Rightarrow h(m)\geq h(1)=1>0$

Kết luận: $m=0;1;2;3;4$

$m=1$ pt trên bằng $0$, không thỏa mãn ạ.



#7
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Chỗ này $f'(x)=m(ln2.2^{mx}-\color{red}{m})$ ạ. Nhưng mà may là nó vẫn dương.

 

$m=1$ pt trên bằng $0$, không thỏa mãn ạ.

Mình sửa lại rồi nhé. Cảm ơn bạn  :D






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh