Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
darkangle249

darkangle249

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc(a+b+c)=3$. chứng minh rằng

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$



#2
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Bổ đề: $\forall a,b,c>0$, ta có bđt:

$$\left(\sum a\right)^{5}\geq 81\prod a\left(\sum a^{2}\right)^{2}$$

Viết lại bđt trên dưới dạng $p,q,r$: $$p^{5}\geq 81r\left(p^{2}-2q\right)$$
Bđt thuần nhất nên ta chuẩn hóa $p=3$: $$3\geq r(9-2q) \Leftrightarrow q\geq \dfrac{3(3r-1)}{2r}$$

Ta có: $$q^{2}\geq 3pr=9r \Rightarrow q\geq 3\sqrt{r}$$

Do đó ta cần cm: $$3\sqrt{r}\geq \dfrac{3(3r-1)}{2r} \Leftrightarrow 2r\sqrt{r}\geq 3r-1 \Leftrightarrow \left(\sqrt{r}-1\right)^{2}\left(2\sqrt{r}+1\right)\geq 0$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

 

Trở lại bt:
Sử dụng gt và đưa về bđt thuần nhất, ta cần cm:
$$3\left(\sum \sqrt{a}\right)^{24}\geq \left(\sum \sqrt[3]{a}\right)^{24}\left(\prod a\right)\left(\sum a\right)$$
$$\Leftrightarrow \left(\dfrac{\sum \sqrt[3]{a}}{\sum \sqrt{a}}\right)^{24}\left(\prod a\right)\left(\sum a\right)\leq 3$$
Đến đây ta sẽ bỏ qua gt và cm bđt mới bằng cách chuẩn hóa $\sum \sqrt{a}=3$

Áp dụng bđt Holder: $$\left(\sum \sqrt{a}\right)^{3}=3\left(\sum \sqrt{a}\right)^{2}\geq \left(\sum \sqrt[3]{a}\right)^{3} \Rightarrow \left(\dfrac{\sum \sqrt[3]{a}}{\sum \sqrt{a}}\right)^{24}\leq 1$$

Áp dụng bổ đề: $$81\sqrt{\prod a}\left(\sum a\right)\leq \left(\sum \sqrt{a}\right)^{5} \Rightarrow \sqrt{\prod a}\left(\sum a\right)\leq 3$$

Áp dụng bđt AM -GM: $$3=\sum \sqrt{a}\geq 3\sqrt[6]{\prod a} \Rightarrow \sqrt{\prod a}\leq 1$$

Nhân $3$ bđt trên lại với nhau ta thu đc đpcm. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
 



#3
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Bổ đề: $\forall a,b,c>0$, ta có bđt:

$$\left(\sum a\right)^{5}\geq 81\prod a\left(\sum a^{2}\right)^{2}$$

Viết lại bđt trên dưới dạng $p,q,r$: $$p^{5}\geq 81r\left(p^{2}-2q\right)$$
Bđt thuần nhất nên ta chuẩn hóa $p=3$: $$3\geq r(9-2q) \Leftrightarrow q\geq \dfrac{3(3r-1)}{2r}$$

Ta có: $$q^{2}\geq 3pr=9r \Rightarrow q\geq 3\sqrt{r}$$

Do đó ta cần cm: $$3\sqrt{r}\geq \dfrac{3(3r-1)}{2r} \Leftrightarrow 2r\sqrt{r}\geq 3r-1 \Leftrightarrow \left(\sqrt{r}-1\right)^{2}\left(2\sqrt{r}+1\right)\geq 0$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

 

Trở lại bt:
Sử dụng gt và đưa về bđt thuần nhất, ta cần cm:
$$3\left(\sum \sqrt{a}\right)^{24}\geq \left(\sum \sqrt[3]{a}\right)^{24}\left(\prod a\right)\left(\sum a\right)$$
$$\Leftrightarrow \left(\dfrac{\sum \sqrt[3]{a}}{\sum \sqrt{a}}\right)^{24}\left(\prod a\right)\left(\sum a\right)\leq 3$$
Đến đây ta sẽ bỏ qua gt và cm bđt mới bằng cách chuẩn hóa $\sum \sqrt{a}=3$

Áp dụng bđt Holder: $$\left(\sum \sqrt{a}\right)^{3}=3\left(\sum \sqrt{a}\right)^{2}\geq \left(\sum \sqrt[3]{a}\right)^{3} \Rightarrow \left(\dfrac{\sum \sqrt[3]{a}}{\sum \sqrt{a}}\right)^{24}\leq 1$$

Áp dụng bổ đề: $$81\sqrt{\prod a}\left(\sum a\right)\leq \left(\sum \sqrt{a}\right)^{5} \Rightarrow \sqrt{\prod a}\left(\sum a\right)\leq 3$$

Áp dụng bđt AM -GM: $$3=\sum \sqrt{a}\geq 3\sqrt[6]{\prod a} \Rightarrow \sqrt{\prod a}\leq 1$$

Nhân $3$ bđt trên lại với nhau ta thu đc đpcm. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
 

Cách chứng minh khác cho bổ đề: Kết hợp hai BĐT sau

$$(a+b+c)^{6}\geq 27(a^{2}+b^{2}+c^{2})(bc+ca+ab)^{2},(bc+ca+ab)^{2}\geq 3abc(a+b+c),$$

ta có đpcm.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh