Chủ đề này có 1 trả lời

[Jaemin]

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB= a, AD = b, AA’ = c, khoảng cách giữa hai

đường AC và BC’ bằng d. Biết a, b, c, d nguyên dương. Tìm a, b, c, d để thể tích khối hộp nhỏ nhất.

[Dark Repulsor]

Đề bài của bạn mơ hồ quá. Ghi tạm vài ý tưởng vậy

 

$A'B=\sqrt{a^{2}+c^{2}}$ ; $BC'=\sqrt{b^{2}+c^{2}}$ ; $A'C'=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Kẻ $B'H\perp A'C'$ ($H\in A'C'$). Lại có $BB'\perp A'C'$ suy ra $(BB'H)\perp A'C' \Rightarrow BH\perp A'C'$

Kẻ $B'K\perp BH$ ($K\in BH$). Khi đó: $d=d(AC,BC')=d\left(AC,(BA'C')\right)=d\left(C,(BA'C')\right)=d\left(B',(BA'C')\right)=B'K$

$\dfrac{1}{B'H^{2}}=\dfrac{1}{B'A'^{2}}+\dfrac{1}{B'C'^{2}}=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}} \Rightarrow B'H=\dfrac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

$\dfrac{1}{B'K^{2}}=\dfrac{1}{B'B^{2}}+\dfrac{1}{B'H^{2}}=\dfrac{1}{c^{2}}+\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}} \Rightarrow B'K=\dfrac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}$

$BH^{2}=A'B^{2}-A'H^{2}=BC'^{2}-C'H^{2} \Rightarrow A'C'(C'H-A'H)=BC'^{2}-A'B^{2} \Rightarrow C'H-A'H=\dfrac{b^{2}-a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} A'H=\dfrac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\ C'H=\dfrac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \end{matrix}\right.$

$BH^{2}=b^{2}+c^{2}-\dfrac{b^{4}}{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{a^{2}+b^{2}} \Rightarrow BH=\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

Gọi $M$ là trung điểm của $BH$

Max: $V=d\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\leq B'M\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}=\dfrac{BH\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}{2}=\dfrac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow K\equiv M \Leftrightarrow B'B=B'H \Leftrightarrow c=\dfrac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Min: $V=d\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq \sqrt{3}d\sqrt[3]{(abc)^{2}}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

 

Hình gửi kèm

•