Lời giải bangbang1412, 30-06-2021 - 23:05
Cho hàm $f:(0,+\infty ]\rightarrow \mathbb{R}$ khả vi bậc hai. Giả sử hàm $x{f}''(x)$ bị chặn và $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{x}=0$.
Chứng minh rằng: $\lim_{x\rightarrow +\infty }{f}'(x)=0$
Dùng khai triển Taylor, với mỗi $x \in (0, +\infty)$ thì
$$f(2x) - f(x) = f'(x)x + \frac{(f^{''}(\theta))^2}{2}x^2,$$
với $x < \theta <2x$ nào đó, chia hai về cho $x$ ta có
$$2\frac{f(2x)}{2x} - \frac{f(x)}{x} = f'(x) + (\theta f^{''}(\theta))^2 \frac{x}{2\theta^2}.$$
Lấy giới hạn $x \to +\infty$ thì $\theta \to +\infty$ và lưu ý $\theta f^{''}(\theta)$ bị chặn, $x/\theta <1$ nên ta có đpcm.
Lưu ý. Viết $(0,+\infty]$ về cơ bản là không chuẩn.
Đi đến bài viết »
Trung sĩ
Cho hàm $f:(0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ khả vi bậc hai. Giả sử hàm $x{f}''(x)$ bị chặn và $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{x}=0$.
Chứng minh rằng: $\lim_{x\rightarrow +\infty }{f}'(x)=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 01-07-2021 - 07:55
Độc cô cầu bại
Cho hàm $f:(0,+\infty ]\rightarrow \mathbb{R}$ khả vi bậc hai. Giả sử hàm $x{f}''(x)$ bị chặn và $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{x}=0$.
Chứng minh rằng: $\lim_{x\rightarrow +\infty }{f}'(x)=0$
Dùng khai triển Taylor, với mỗi $x \in (0, +\infty)$ thì
$$f(2x) - f(x) = f'(x)x + \frac{(f^{''}(\theta))^2}{2}x^2,$$
với $x < \theta <2x$ nào đó, chia hai về cho $x$ ta có
$$2\frac{f(2x)}{2x} - \frac{f(x)}{x} = f'(x) + (\theta f^{''}(\theta))^2 \frac{x}{2\theta^2}.$$
Lấy giới hạn $x \to +\infty$ thì $\theta \to +\infty$ và lưu ý $\theta f^{''}(\theta)$ bị chặn, $x/\theta <1$ nên ta có đpcm.
Lưu ý. Viết $(0,+\infty]$ về cơ bản là không chuẩn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 30-06-2021 - 23:07
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
