Lời giải:
Dễ thấy $IEAF$ là hình bình hành $\Rightarrow AI$ và $EF$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường $\Rightarrow D$ là trung điểm của $EF$
Mà $AD$ là đường đối trung của $\Delta ABC$ suy ra $EF$ đối song $BC$ hay $4$ điểm $B,C,E,F$ đồng viên
Ta có tính chất quen thuộc: Trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp là $2$ điểm liên hợp đẳng giác trong $1$ tam giác
Do đó $H$ và $O$ là $2$ điểm liên hợp đẳng giác trong $\Delta ABC$
Gọi $L$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\Delta AEF$ thì $K$ và $L$ cũng là $2$ điểm liên hợp đẳng giác trong $\Delta AEF$
Mà $EF$ đối song $BC$ suy ra $\overline{A,L,H}$ ; $\overline{A,O,K}$ và $OH$ đối song $LK$
Hay $4$ điểm $O,L,H,K$ đồng viên $\Rightarrow OL$ đối song $HK$
Mặt khác: $\overline{DE}.\overline{DF}=\overline{DB}.\overline{DC}=\overline{DA}.\overline{DX} \Rightarrow 4$ điểm $A,X,E,F$ đồng viên
Do đường nối tâm $2$ đường tròn vuông góc với trục đẳng phương của chúng nên $OL\perp AX$
Từ đó theo tính đối song thì $HK$ vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ $A$ của $\Delta ABC$
P/s: Gọi giao điểm của $MB$ và $IF$ là $P$, $MC$ và $IE$ là $Q$. Bằng biến đổi góc ta cm đc $P,Q\in (BCEF)$ và $PQ\parallel BC$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 01-07-2021 - 20:54