Chủ đề này có 13 trả lời

[Tran Hoai Nghia]

ĐỀ BÀI: Trong 1 trang tập học sinh có kích thước 21x16 ô ly. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu loại hình chữ nhật khác nhau được cấu thành bởi 7 hình chữ nhật giống hệt nhau? Biết rằng, mỗi hình chữ nhật nhỏ đó được cấu thành bằng các ô ly trong tập học sinh đã cho.


Giải thích thêm cho đề bài: Như trong hình ta thấy là 1 hình chữ nhật được vẽ trong trang tập học sinh, học sinh cần tìm các hình chữ nhật khác hình chữ nhật đó và lưu ý là khác nhau có thể vẽ được trong trang tập đó. Xin mời các toán thủ nghiên cứu  .Hoàn toàn có thể coi hình vuông là hình chữ nhật.

Bài toán mở rộng: Theo bài trước , với 1 trang tập học sinh có kích thước $16\times 21$ ô ly, hỏi có bao nhiêu cách để lấp đầy trang tập đó với n hình chữ nhật ( mà trong đó mỗi hình chữ nhật được cấu tạo từ 7 hình chữ nhật giống y hệt nhau), với n ($n\geq 1,n\in \mathbb{N}$) là số hình chữ nhật, mà trong đó phải là các hình chữ nhật khác loại nhau ( ví dụ, để lấp đầy trang sách đó bằng 4 hình chữ nhật thì 4 hình đó phải là 4 hình khác nhau)? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 07-07-2021 - 15:17

[chanhquocnghiem]

ĐỀ BÀI: Trong 1 trang tập học sinh có kích thước 21x16 ô ly. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu loại hình chữ nhật khác nhau được cấu thành bởi 7 hình chữ nhật giống hệt nhau? Biết rằng, mỗi hình chữ nhật nhỏ đó được cấu thành bằng các ô ly trong tập học sinh đã cho.


Giải thích thêm cho đề bài: Như trong hình ta thấy là 1 hình chữ nhật được vẽ trong trang tập học sinh, học sinh cần tìm các hình chữ nhật khác hình chữ nhật đó và lưu ý là khác nhau có thể vẽ được trong trang tập đó. Xin mời các toán thủ nghiên cứu  .Hoàn toàn có thể coi hình vuông là hình chữ nhật.

Các loại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài phải có diện tích chia hết cho $7$, tức là ít nhất có một trong hai cạnh (chiều dài và chiều rộng) có độ dài chia hết cho $7$.

Ký hiệu các hình chữ nhật là $a\times b$, với $a$ là chiều rộng, $b$ là chiều dài ($a,b\in\mathbb{N},0< a\leqslant 16,0< b\leqslant 21$ và $a\leqslant b$).

Gọi $A$ là tập hợp các loại hình chữ nhật có chiều rộng chia hết cho $7\rightarrow \left | A \right |=23$ (với $a=7$ có $15$ loại, với $a=14$ có $8$ loại)

Gọi $B$ là tập hợp các loại hình chữ nhật có chiều dài chia hết cho $7\rightarrow \left | B \right |=37$ (với $b=7$ có $7$ loại, với $b=14$ có $14$ loại, với $b=21$ có $16$ loại)

Gọi $C=A\cap B\rightarrow \left | C \right |=5$ ($7\times 7$ ; $7\times 14$ ; $7\times 21$ ; $14\times 14$ và $14\times 21$)
Số loại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài có thể vẽ được là $\left | A \right |+\left | B \right |-\left | A\cap B \right |=23+37-5=55$ (loại)
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 06-07-2021 - 09:49

[Tran Hoai Nghia]

Các loại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài phải có diện tích chia hết cho $7$, tức là ít nhất có một trong hai cạnh (chiều dài và chiều rộng) có độ dài chia hết cho $7$.

Ký hiệu các hình chữ nhật là $a\times b$, với $a$ là chiều rộng, $b$ là chiều dài ($a,b\in\mathbb{N},0< a\leqslant 14,0< b\leqslant 21$ và $a\leqslant b$).

Gọi $A$ là tập hợp các loại hình chữ nhật có chiều rộng chia hết cho $7\rightarrow \left | A \right |=23$ (với $a=7$ có $15$ loại, với $a=14$ có $8$ loại)

Gọi $B$ là tập hợp các loại hình chữ nhật có chiều dài chia hết cho $7\rightarrow \left | B \right |=35$ (với $b=7$ có $7$ loại, với $b=14$ có $14$ loại, với $b=21$ có $14$ loại)

Gọi $C=A\cap B\rightarrow \left | C \right |=5$ ($7\times 7$ ; $7\times 14$ ; $7\times 21$ ; $14\times 14$ và $14\times 21$)
Số loại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài có thể vẽ được là $\left | A \right |+\left | B \right |-\left | A\cap B \right |=23+35-5=53$ (loại)
 

Với $\left | A \right |=21+21$ ( trùng 7x14 ở cả hai dòng) nên còn $\left | A \right |=21+20$ ( loại 1 dòng 7x14)
$\left\{\begin{matrix} 7\times 1\rightarrow 7\times 21\\ 14\times 1\rightarrow 14\times 21 \end{matrix}\right.$
$\left | B \right |=16+16+16$ ( trùng 7x14 ở hai dòng trên, nhưng 2 dòng trên cũng chỉ là "con" của $\left | A \right |$)
$\left\{\begin{matrix} 1\times 7\rightarrow 16\times 7\\ 1\times 14\rightarrow 16\times 14\\ 1\times 21\rightarrow 16\times 21 \end{matrix}\right.$ 
Vì 2 dòng trên là con của $A$ nên ta có thể viết:
$B=\left \{ 1\times 21\rightarrow 16\times 21 \right \} \Rightarrow \left | B \right |=16$
$\left | C \right |= 2$ (7x21; 14x21)
KQ:21+20+16-2= 55 loại ( KẾT QUẢ CHÍNH THỨC)
Bài của bạn chắc sai ở chỗ xác định tập $\left | C \right |$.Phải là $C=A\cap B\rightarrow \left | C \right |=4 $ $(7\times 7 ; 7\times 14; 14\times 7 ;  14\times 14)$.Tập C có 4 loại mới đúng, vì ở b=21 thì bạn đã loại trừ sẵn 2 loại 7x21 và 14x21 rồi.  ( Nhận xét bị nhầm lẫn)
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 07-07-2021 - 14:41

[chanhquocnghiem]

Với $\left | A \right |=21+21$ ( trùng 7x14 ở cả hai dòng) nên còn $\left | A \right |=20+20$
$\left\{\begin{matrix} 7\times 1\rightarrow 7\times 21\\ 14\times 1\rightarrow 14\times 21 \end{matrix}\right.$
$\left | B \right |=16+16+16$ ( trùng 7x14 ở hai dòng trên, nhưng 2 dòng trên cũng chỉ là "con" của $\left | A \right |$)
$\left\{\begin{matrix} 1\times 7\rightarrow 16\times 7\\ 1\times 14\rightarrow 16\times 14\\ 1\times 21\rightarrow 16\times 21 \end{matrix}\right.$ 
$\left | C \right |=16+16 + 2$ (7x21; 14x21)
KQ:20+20+16-2= 54 loại
Bài của bạn chắc sai ở chỗ xác định tập $\left | C \right |$.Phải là $C=A\cap B\rightarrow \left | C \right |=4 $ $(7\times 7 ; 7\times 14; 14\times 7 ;  14\times 14)$.Tập C có 4 loại mới đúng, vì ở b=21 thì bạn đã loại trừ sẵn 2 loại 7x21 và 14x21 rồi.  
 

Bạn lưu ý ký hiệu hình chữ nhật là $a\times b$ với $a\leqslant b$ nên không có kiểu $7\times 1$ hay $14\times 1$ nhé.

Tập $A$ gồm $\left\{\begin{matrix}7\times 7,7\times 8,7\times 9,...,7\times 21\\14\times 14,14\times 15,14\times 16,...,14\times 21 \end{matrix}\right.$

Vậy $\left | A \right |$ chỉ bằng $15+8=23$ mà thôi.

Tập $B$ gồm $\left\{\begin{matrix}1\times 7,2\times 7,3\times 7,...,7\times 7\\1\times 14,2\times 14,3\times 14,...,14\times 14\\1\times 21,2\times 21,3\times 21,...,16\times 21 \end{matrix}\right.$

Vậy $\left | B \right |=7+14+16=37$

Còn $\left | C \right |=\left | A\cap B \right |=5$ thì đúng rồi (bạn suy nghĩ kỹ xem)

 

--------------------------------------------------------------------

(Hôm qua đọc nhầm đề là 14 x 21 nên có sai sót, đã sửa lại ở trên, kết quả là $55$)

 

[Tran Hoai Nghia]

Bạn lưu ý ký hiệu hình chữ nhật là $a\times b$ với $a\leqslant b$ nên không có kiểu $7\times 1$ hay $14\times 1$ nhé.

Tập $A$ gồm $\left\{\begin{matrix}7\times 7,7\times 8,7\times 9,...,7\times 21\\14\times 14,14\times 15,14\times 16,...,14\times 21 \end{matrix}\right.$

Vậy $\left | A \right |$ chỉ bằng $15+8=23$ mà thôi.

Tập $B$ gồm $\left\{\begin{matrix}1\times 7,2\times 7,3\times 7,...,7\times 7\\1\times 14,2\times 14,3\times 14,...,14\times 14\\1\times 21,2\times 21,3\times 21,...,16\times 21 \end{matrix}\right.$

Vậy $\left | B \right |=7+14+16=37$

Còn $\left | C \right |=\left | A\cap B \right |=5$ thì đúng rồi (bạn suy nghĩ kỹ xem)

 

--------------------------------------------------------------------

(Hôm qua đọc nhầm đề là 14 x 21 nên có sai sót, đã sửa lại ở trên, kết quả là $55$)

Từ phần in đậm đầu tiên trở lên là cách giải của riêng mình , không có điều kiện $a\leq b$, không giống cách giải của bạn.Còn từ phần đó trở xuống là nhận xét về cách giải của bạn.Bạn giải nhầm tập B với b=21, vì $1\leq a\leq 16$, theo cách giải của bạn:
$A=\left\{\begin{matrix} 7\times 7\rightarrow 7\times 21\\ 14\times14\rightarrow 14\times 21 \end{matrix}\right.$
$B=\left\{\begin{matrix} 1\times 7\rightarrow 7\times 7\\ 1\times 14\rightarrow 14\times 14\\ 1\times 21\rightarrow 16\times 21 \end{matrix}\right.$ 
Rõ ràng: $C=A\cap B=\left \{ 7\times 7, 14\times14,7\times14,14\times21,7\times21 \right \}$
Vậy thì tập $C$ của bạn đúng rồi, vì trước nghĩ b=21 thì phải có 16 loại mới đúng chứ,  tưởng bạn bỏ 7x21 vs 14x21.
Thực sự cách bạn giải về tập hợp nó rất hay.
Bài giải của mình cũng nhầm lẫn và đã chỉnh sửa, kết quả chính thức là 55 loại.  
Theo mình biết thì hình chữ nhật đâu có bắt buộc chiều dài lớn hơn chiều rộng, vậy 7x1 vẫn là 1 hình chữ nhật như 1x7 chứ? Bạn có tài liệu nào nói bắt buộc phải $a\leqslant b$ không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 07-07-2021 - 15:35

[Tran Hoai Nghia]

Bài toán mở rộng: Theo bài trước , với 1 trang tập học sinh có kích thước $16\times 21$ ô ly, hỏi có bao nhiêu cách để lấp đầy trang tập đó với n hình chữ nhật ( mà trong đó mỗi hình chữ nhật được cấu tạo từ 7 hình chữ nhật giống y hệt nhau), với n ($n\geq 1,n\in \mathbb{N}$) là số hình chữ nhật, mà trong đó phải là các hình chữ nhật khác loại nhau ( ví dụ, để lấp đầy trang sách đó bằng 4 hình chữ nhật thì 4 hình đó phải là 4 hình khác nhau)?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 07-07-2021 - 15:17

[Lemonjuice]

Bài toán mở rộng: Theo bài trước , với 1 trang tập học sinh có kích thước $16\times 21$ ô ly, hỏi có bao nhiêu cách để lấp đầy trang tập đó với n hình chữ nhật ( mà trong đó mỗi hình chữ nhật được cấu tạo từ 7 hình chữ nhật giống y hệt nhau), với n ($n\geq 1,n\in \mathbb{N}$) là số hình chữ nhật, mà trong đó phải là các hình chữ nhật khác loại nhau ( ví dụ, để lấp đầy trang sách đó bằng 4 hình chữ nhật thì 4 hình đó phải là 4 hình khác nhau)?

Em xin phép được góp một mở rộng khác cho bài toán ạ: 

Bài toán mở rộng 2: Theo bài trước , với 1 trang tập học sinh có kích thước $a \times b$ ô ly ( a và b là số nguyên dương), hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để lấp đầy trang tập đó với n hình chữ nhật ( biết rằng đây là hình chữ nhật chứ không phải hình vuông) ?

[Tran Hoai Nghia]

Em xin phép được góp một mở rộng khác cho bài toán ạ: 

Bài toán mở rộng 2: Theo bài trước , với 1 trang tập học sinh có kích thước $a \times b$ ô ly ( a và b là số nguyên dương), hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để lấp đầy trang tập đó với n hình chữ nhật ( biết rằng đây là hình chữ nhật chứ không phải hình vuông) ?

Mở rộng căng quá em, 1 trang tập học sinh $a\times b$ em cho là vô hạn, vậy phải có vô hạn cách rồi? À mà bạn chanhquocnghiem có nói kí hiệu hình chữ nhật là $a\times b$ với $a\leq b$ ( a là chiều rộng, b là chiều dài), có cần cái điều kiện $a\leq b$ không vậy?
Anh nghĩ nên có kích thước trang sách cụ thể nó hay hơn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 07-07-2021 - 17:11

[perfectstrong]

Em xin phép được góp một mở rộng khác cho bài toán ạ: 

Bài toán mở rộng 2: Theo bài trước , với 1 trang tập học sinh có kích thước $a \times b$ ô ly ( a và b là số nguyên dương), hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để lấp đầy trang tập đó với n hình chữ nhật ( biết rằng đây là hình chữ nhật chứ không phải hình vuông) ?

Đây là bài toán Pallet Loading, vốn là một bài toán mở rất nổi tiếng nhưng chưa có lời giải hoàn chỉnh.

https://www.research...nal_experiments

[chanhquocnghiem]

...
Theo mình biết thì hình chữ nhật đâu có bắt buộc chiều dài lớn hơn chiều rộng, vậy 7x1 vẫn là 1 hình chữ nhật như 1x7 chứ? Bạn có tài liệu nào nói bắt buộc phải $a\leqslant b$ không?

Hình chữ nhật (bao gồm cả hình vuông) thì chiều rộng không lớn hơn chiều dài (đây là định nghĩa về chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã học ở Tiểu học rồi mà). Còn trong ký hiệu hình chữ nhật là $a\times b$, nếu không có điều kiện kèm theo, người đọc sẽ hiểu rằng $a$ là chiều rộng hay chiều dài cũng được (tức là viết $1\times 7$ hay $7\times 1$ đều được, và 2 cách viết đều chỉ hình chữ nhật có chiều rộng $1$, chiều dài $7$). Nhưng mình lại kèm thêm điều kiện $a\leqslant b$, như vậy người đọc sẽ hiểu $a$ là chiều rộng, $b$ là chiều dài, và chiều rộng phải viết trước. Tại sao phải thêm điều kiện đó ? Mục đích là để mỗi hình chữ nhật chỉ có một cách gọi duy nhất, và nhờ đó giảm được hiện tượng "đếm trùng" (như trong lời giải của mình, hình chữ nhật chiều rộng $1$, chiều dài $7$ chỉ được đếm $1$ lần trong tập $A$, còn bạn đếm nó đến $2$ lần : lần đầu trong tập $A$ với tên gọi $7\times 1$, lần sau trong tập $B$ với tên gọi $1\times 7$). Hiện tượng "đếm trùng" là nguyên nhân chủ yếu của các sai lầm trong các bài toán đếm, vì vậy hạn chế nó càng nhiều càng tốt.
 

[Tran Hoai Nghia]

Đây là bài toán Pallet Loading, vốn là một bài toán mở rất nổi tiếng nhưng chưa có lời giải hoàn chỉnh.

https://www.research...nal_experiments

Chắc đây là anh Trọng, nếu giải theo cách của em thì có đúng không và việc kí hiệu kích thước của hình chữ nhật là $a\times b$ mà không quy định $a\geq b$ hoặc $b\geq a$ có được không?

[perfectstrong]

Chắc đây là anh Trọng, nếu giải theo cách của em thì có đúng không và việc kí hiệu kích thước của hình chữ nhật là $a\times b$ mà không quy định $a\geq b$ hoặc $b\geq a$ có được không?

Mình không phải anh Trọng Xin lỗi, mình chưa đọc phần lời giải ban đầu của bạn. Nhưng quy ước $a \times b$ thì theo mình biết không ai để ý $a \ge b$ hoặc $b \ge a$.

[chanhquocnghiem]

...
Theo mình biết thì hình chữ nhật đâu có bắt buộc chiều dài lớn hơn chiều rộng, vậy 7x1 vẫn là 1 hình chữ nhật như 1x7 chứ? Bạn có tài liệu nào nói bắt buộc phải $a\leqslant b$ không?

Bạn có thể chọn $1$ trong $3$ cách sau :

Cách 1 : "Ký hiệu các hình chữ nhật là $a\times b$ ($a\leqslant b$)"
Cách 2 : "Ký hiệu các hình chữ nhật là $a\times b$ ($a\geqslant b$)"

Cách 3 : "Ký hiệu các hình chữ nhật là $a\times b$ (không kèm theo điều kiện nào hết)"

Chọn cách nào là tùy người giải, miễn sao lời giải chính xác, đơn giản, rõ ràng, dễ hiểu là được. (Theo mình nên chọn cách 1 hoặc cách 2)

[Einstein1431879]

Sẽ có nhiều nhất 30 hình nha.