Đến nội dung

Hình ảnh

Cho hình chóp S.ABCD có SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=a. Chứng minh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).......

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
lucas123

lucas123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết

Cho hình chóp S.ABCD có SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=a. Chứng minh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) không vượt quá $\frac{a\sqrt{3}}{2}$



#2
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

gt $\Rightarrow ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow AC^{2}+BD^{2}=4a^{2} \Rightarrow AC<2a$

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\Delta BCD$. Do $SB=SC=SD \Rightarrow SI\perp (ABCD)$ tại $I$

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow IH\perp BC$ tại $H$ và $SH\perp BC$ tại $H$. Kẻ $IK\perp SH$ tại $K$ thì $IK=d\left(I,(SBC)\right)$

$IC=R_{BCD}=\dfrac{BC.CD.DB}{4S_{BCD}}=\dfrac{a^{2}.BD}{AC.BD}=\dfrac{a^{2}}{AC}$

$SI^{2}=SC^{2}-IC^{2}=a^{2}-\dfrac{a^{4}}{AC^{2}}=\dfrac{a^{2}\left(AC^{2}-a^{2}\right)}{AC^{2}} \Rightarrow AC>a$

$IH^{2}=IC^{2}-CH^{2}=\dfrac{a^{4}}{AC^{2}}-\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{a^{2}\left(4a^{2}-AC^{2}\right)}{4AC^{2}}$

$\dfrac{1}{IK^{2}}=\dfrac{1}{SI^{2}}+\dfrac{1}{IH^{2}}=\dfrac{AC^{2}}{a^{2}\left(AC^{2}-a^{2}\right)}+\dfrac{4AC^{2}}{a^{2}\left(4a^{2}-AC^{2}\right)}=\dfrac{AC^{2}}{a^{2}}\left(\dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}+\dfrac{4}{4a^{2}-AC^{2}}\right)$

$\Rightarrow IK=\dfrac{a}{AC\sqrt{\dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}+\dfrac{4}{4a^{2}-AC^{2}}}}$

$\dfrac{d\left(A,(SBC)\right)}{d\left(I,(SBC)\right)}=\dfrac{AC}{IC}=\dfrac{AC^{2}}{a^{2}} \Rightarrow d\left(A,(SBC)\right)=\dfrac{IK.AC^{2}}{a^{2}}=\dfrac{AC}{a\sqrt{\dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}+\dfrac{4}{4a^{2}-AC^{2}}}}$

Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz và AM - GM:

$\dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}+\dfrac{4}{4a^{2}-AC^{2}}=\dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}-AC^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}-AC^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}-AC^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}-AC^{2}}\geq \frac{25}{15a^{2}-3AC^{2}}$

$\Rightarrow d\left(A,(SBC)\right)\leq \dfrac{AC\sqrt{15a^{2}-3AC^{2}}}{5a}=\dfrac{\sqrt{3AC^{2}}.\sqrt{15a^{2}-AC^{2}}}{5\sqrt{3}a}\leq \dfrac{15a^{2}}{10\sqrt{3}a}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{AC^{2}-a^{2}}=\dfrac{1}{4a^{2}-AC^{2}} \\ 3AC^{2}=15a^{2}-3AC^{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow AC=\dfrac{\sqrt{10}a}{2}$

Hình gửi kèm

  • hình học ko gian 4.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 13-07-2021 - 16:45





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh