Chủ đề này có 1 trả lời

[NguyenMinhTri]

Cho $\Delta ABC$  vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC, I và J lần lượt là giao điểm ba

đường phân giác $\Delta ABM$  và $\Delta ACM$ . Chứng minh rằng đường thẳng IJ chia $\Delta ABC$ thành hai

phần có diện tích bằng nhau.

 

Nhờ mọi người giúp mình bài này với ạ! Mình cảm ơn!

[Dark Repulsor]

Tính toán trâu bò vậy 

$IJ$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$. $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB,AC$

Ký hiệu $a,b,c,S$ lần lượt là độ dài $3$ cạnh tương ứng và diện tích của $\Delta ABC$ ; $r_{1},r_{2}$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$

$r_{1}=\dfrac{2S_{ABM}}{AB+AM+BM}=\dfrac{S}{a+c}$. Tương tự: $r_{2}=\dfrac{S}{a+b}$

$MI=MH-IH=\sqrt{BM^{2}-BH^{2}}-\dfrac{S}{a+c}=\dfrac{\sqrt{a^{2}-c^{2}}}{2}-\dfrac{S}{a+c}=\dfrac{b}{2}-\dfrac{S}{a+c}$. Tương tự: $MJ=\dfrac{c}{2}-\dfrac{S}{a+b}$

$\Delta DHI \sim \Delta JMI \Rightarrow \dfrac{HD}{MJ}=\dfrac{IH}{MI} \Rightarrow HD=\dfrac{r_{1}.MJ}{MI}=\dfrac{\dfrac{S}{a+c}\left(\dfrac{c}{2}-\dfrac{S}{a+b}\right)}{\dfrac{b}{2}-\dfrac{S}{a+c}}=\dfrac{\dfrac{S.ac}{2(a+c)(a+b)}}{\dfrac{ab}{2(a+c)}}=\dfrac{S.c}{b(a+b)}$

Tương tự: $KE=\dfrac{S.b}{c(a+c)}$

$2S_{ADE}=AD.AE=(AH+HD)(AK+KE)=\dfrac{S}{2}+\dfrac{c}{2}.\dfrac{S.b}{c(a+c)}+\dfrac{b}{2}.\dfrac{S.c}{b(a+b)}+\dfrac{S^{2}}{(a+b)(a+c)}=S\left[\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{2(a+c)}+\dfrac{c}{2(a+b)}+\dfrac{S}{(a+b)(a+c)}\right]=S\left[\frac{1}{2}+\dfrac{b(a+b)+c(a+c)+bc}{2(a+b)(a+c)}\right]=S\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=S$  (do $a^{2}=b^{2}+c^{2}$) $\Rightarrow$ đpcm

Hình gửi kèm

•