Cho số thực x khác 0 thoả mãn $x+\frac{2}{x}$ và $x^{3}$ đều là số hữu tỉ. Chứng minh rằng x là một số hữu tỉ.
Cho số thực x khác 0 thoả mãn $x+\frac{2}{x}$ và $x^{3}$ đều là số hữu tỉ. Chứng minh rằng x là một số hữu tỉ.
Bắt đầu bởi Lecaotri99, 04-07-2021 - 22:15
#1
Đã gửi 04-07-2021 - 22:15
#2
Đã gửi 25-11-2021 - 15:21
Từ giả thiết, ta có
+) $\left ( x+\dfrac{2}{x} \right )^2-2=x^2+\dfrac{4}{x^2}+2 \in \mathbb{Q}$
+) $x^3-\dfrac{8}{x^3} \in \mathbb{Q}$
Lại có $x^3-\dfrac{8}{x^3}=\left ( x-\dfrac{2}{x} \right )\left ( x^2+\dfrac{4}{x^2} +2\right ) \in \mathbb{Q}$.
Mà $x^3-\dfrac{8}{x^3} \in \mathbb{Q}$, $\left ( x^2+\dfrac{4}{x^2} +2\right ) \in \mathbb{Q}$ nên $x-\dfrac{2}{x} \in \mathbb{Q}$
Từ đó ta có $x-\dfrac{2}{x} + x+\dfrac{2}{x} = 2x \in \mathbb{Q}$, suy ra $x\in \mathbb{Q}$.
3 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh