Đến nội dung


Hình ảnh

Cho số thực x khác 0 thoả mãn $x+\frac{2}{x}$ và $x^{3}$ đều là số hữu tỉ. Chứng minh rằng x là một số hữu tỉ.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Lecaotri99

Lecaotri99

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Đọc tiểu thuyết, giải toán

Đã gửi 04-07-2021 - 22:15

Cho số thực x khác 0 thoả mãn $x+\frac{2}{x}$ và $x^{3}$  đều là số hữu tỉ. Chứng minh rằng x là một số hữu tỉ.



#2 Khoinguyen2007

Khoinguyen2007

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc

Đã gửi 25-11-2021 - 15:21

Từ giả thiết, ta có

+) $\left ( x+\dfrac{2}{x} \right )^2-2=x^2+\dfrac{4}{x^2}+2 \in \mathbb{Q}$

+) $x^3-\dfrac{8}{x^3} \in \mathbb{Q}$

Lại có $x^3-\dfrac{8}{x^3}=\left ( x-\dfrac{2}{x} \right )\left ( x^2+\dfrac{4}{x^2} +2\right ) \in \mathbb{Q}$.

Mà $x^3-\dfrac{8}{x^3} \in \mathbb{Q}$,  $\left ( x^2+\dfrac{4}{x^2} +2\right ) \in \mathbb{Q}$ nên $x-\dfrac{2}{x} \in \mathbb{Q}$

Từ đó ta có $x-\dfrac{2}{x}  + x+\dfrac{2}{x} = 2x \in \mathbb{Q}$, suy ra $x\in \mathbb{Q}$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh