Chủ đề này có 1 trả lời

[lucas123]

Cho hàm số $y=x^{3}-3x^2-mx+2$ có đồ thị $(C_{m})$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để $(C_{m})$ có điểm cực đại cực tiểu cách đều đường thẳng  y=x-1

[Dark Repulsor]

$y'=3x^{2}-6x-m$

($C_{m}$) có cả điểm cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow$ Pt $y'=0$ có $2$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta=12(m+3)>0 \Leftrightarrow m>-3$

Theo định lý Viète: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=2 \\ x_{1}x_{2}=\dfrac{-m}{3} \end{matrix}\right.$

$x_{1}=1-\sqrt{\dfrac{m}{3}+1}$ là hoành độ của điểm cực đại $A$ và $x_{2}=1+\sqrt{\dfrac{m}{3}+1}$ là hoành độ của điểm cực tiểu $B$

$(d): y=x-1$

$d(A,d)=d(B,d) \Leftrightarrow \left | -x_{1}+y_{1}+1 \right |=\left | -x_{2}+y_{2}+1 \right |$

$\Leftrightarrow \left | \sqrt{\dfrac{m}{3}+1}+x_{1}^{3}-3x_{1}^{2}-mx_{1}+2 \right |=\left | -\sqrt{\dfrac{m}{3}+1}+x_{2}^{3}-3x_{2}^{2}-mx_{2}+2 \right |$

TH1: $\sqrt{\dfrac{m}{3}+1}+x_{1}^{3}-3x_{1}^{2}-mx_{1}+2=-\sqrt{\dfrac{m}{3}+1}+x_{2}^{3}-3x_{2}^{2}-mx_{2}+2$

$\Leftrightarrow \left(x_{2}-x_{1}\right)\left[x_{2}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}x_{1}-3\left(x_{2}+x_{1}\right)-m\right]=2\sqrt{\dfrac{m}{3}+1}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{\dfrac{m}{3}+1}\left(4+\dfrac{m}{3}-6-m\right)=2\sqrt{\dfrac{m}{3}+1} \Leftrightarrow m=\dfrac{-9}{2}$  (loại)

TH2: $\sqrt{\dfrac{m}{3}+1}+x_{1}^{3}-3x_{1}^{2}-mx_{1}+2=\sqrt{\dfrac{m}{3}+1}-x_{2}^{3}+3x_{2}^{2}+mx_{2}-2$

$\Leftrightarrow x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-3\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)-m\left(x_{1}+x_{2}\right)+4=0$

$\Leftrightarrow 2(4+m)-3\left(4+\dfrac{2m}{3}\right)-2m+4=0 \Leftrightarrow m=0$  (thỏa mãn)