Chủ đề này có 1 trả lời

[tunglamlqddb]

Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn: $(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) = 8$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a}{b(b+2c+1)(a+3c)^2} + \frac{b}{c(c+2a+1)(b+3a)^2} + \frac{c}{a(a+2b+1)(c+3b)^2}$

 

[PDF]

Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn: $(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) = 8$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a}{b(b+2c+1)(a+3c)^2} + \frac{b}{c(c+2a+1)(b+3a)^2} + \frac{c}{a(a+2b+1)(c+3b)^2}$

Áp dụng BĐT C-S: $$P=\frac{\left(\dfrac{a}{a+3c}\right)^{2}}{ab(b+2c+1)}+\frac{\left(\dfrac{b}{b+3a}\right)^{2}}{bc(c+2a+1)}+\frac{\left(\dfrac{c}{c+3b}\right)^{2}}{ca(a+2b+1)}\geq \frac{\left(\dfrac{a}{a+3c}+\dfrac{b}{b+3a}+\dfrac{c}{c+3b}\right)^{2}}{(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+6abc+(bc+ca+ab)}.$$

Lại áp dụng BĐT C-S ta có $$\dfrac{a}{a+3c}+\dfrac{b}{b+3a}+\dfrac{c}{c+3b}\geq \frac{3}{4},$$

$$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})}\leq 3.$$

(Bổ đề 8/9)

Mặt khác, theo BĐT AM-GM và bổ đề 8/9: $$abc\leq 1,bc+ca+ab\leq \sqrt{3(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2})}\leq 3.$$

Kết hợp lại ta có $P\geq \frac{3}{64}$.

Vậy $P\geq \frac{3}{64}$ khi $a=b=c=1$. $\square$