Chủ đề này có 3 trả lời

[DBS]

1) Với các số thực dương $a,b,c$, tìm GTNN của biểu thức:

$$Q=\frac{1}{(a+b)^3}+\frac{1}{(b+c)^3}+\frac{1}{(c+a)^3}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{32}$$.

 

2) Với các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{5(x+y+z)}{3}+\frac{x}{y^3+z^3+1}+\frac{y}{z^3+x^3+1}+\frac{z}{x^3+y^3+1}\geq 6$$.

 

Ps: Mới thêm đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 08-07-2021 - 09:43

[Dark Repulsor]

$1$) Áp dụng bđt Holder: $$3\left[\sum \dfrac{1}{(a+b)^{3}}\right]^{2}\geq \left[\sum \dfrac{1}{(a+b)^{2}}\right]^{3}$$

Mà theo bđt Iran $96$: $$\sum \dfrac{1}{(a+b)^{2}}\geq \dfrac{9}{4\sum ab}$$

Suy ra: $$\sum \dfrac{1}{(a+b)^{3}}\geq \dfrac{9\sqrt{3}}{8\sqrt{\left(\sum ab\right)^{3}}}$$

Đặt $t=\sum ab$ ($t>0$). Áp dụng bđt AM - GM cho $7$ số:

$$Q\geq \dfrac{9\sqrt{3}}{8\sqrt{t^{3}}}+\dfrac{t^{2}}{32}=4.\dfrac{9\sqrt{3}}{32\sqrt{t^{3}}}+3.\dfrac{t^{2}}{96}\geq 7\sqrt[7]{\left(\dfrac{9\sqrt{3}}{32}\right)^{4}.\dfrac{1}{96^{3}}}=7\sqrt[7]{\dfrac{3^{7}}{2^{35}}}=\dfrac{21}{32}$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c \\ \dfrac{9\sqrt{3}}{32\sqrt{t^{3}}}=\dfrac{t^{2}}{96} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c \\ t=3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a=b=c=1$

[Dark Repulsor]

$2$) Gợi ý: Bổ đề:  $\forall x,y,z>0$, ta có bđt:

$$\frac{\left(\sum x^{2}\right)^{2}}{2\sum x^{3}y^{3}+\prod x\sum x^{3}}\geq \frac{9}{\left(\sum x\right)^{2}}$$

Trở lại bt:

Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz và AM - GM cho $3$ số:

$$\sum_{cyc}\dfrac{x}{y^{3}+z^{3}+1}=\sum_{cyc}\dfrac{x^{4}}{x^{3}y^{3}+x^{3}z^{3}+x^{3}}\geq \dfrac{\left(\sum x^{2}\right)^{2}}{2\sum x^{3}y^{3}+\sum x^{3}}\geq \dfrac{9}{\left(\sum x\right)^{2}}$$

$$\Rightarrow P\geq \dfrac{9}{\left(\sum x\right)^{2}}+\dfrac{5\sum x}{3}=\frac{9}{\left(\sum x\right)^{2}}+\dfrac{\sum x}{3}+\dfrac{\sum x}{3}+\sum x\geq 6$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 10-07-2021 - 10:49

[DBS]

$2$) Gợi ý: Bổ đề:  $\forall x,y,z>0$, ta có bđt:

$$\frac{\left(\sum x^{2}\right)^{2}}{2\sum x^{3}y^{3}+\sum x^{3}}\geq \frac{9}{\left(\sum x\right)^{2}}$$

Làm sao để chứng minh bổ đề này vậy ạ?