Chủ đề này có 2 trả lời

[DBS]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$T=\frac{a^4}{b^4(5-3\sqrt[3]{a})}+\frac{b^4}{c^4(5-3\sqrt[3]{b})}+\frac{c^4}{a^4(5-3\sqrt[3]{c})}$$.

 

[DBS]

Ai giải giúp em với ạ, khó quá ạ

[PDF]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$T=\frac{a^4}{b^4(5-3\sqrt[3]{a})}+\frac{b^4}{c^4(5-3\sqrt[3]{b})}+\frac{c^4}{a^4(5-3\sqrt[3]{c})}$$.

Ta sẽ chứng minh $VT\geq \frac{3}{2}$.

Ký hiệu $\sum$ là tổng hoán vị theo ba biến $a,b,c$

Bổ đề 1: Với mọi $a,b,c>0$, ta có

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}.$$

Chứng minh.

BĐT tương đương với $$\frac{2\left[\sum a(a-b)^{2}(b-2c)^{2}\right]+abc\left[\sum (a-b)^{2}\right]}{2abc(\sum a)^{2}}\geq 0.$$

Bổ đề được chứng minh. $\blacksquare$

Bổ đề 2: Với mọi $a,b,c>0$, ta có BĐT: $$\frac{a}{7a+b+c}+\frac{b}{7b+c+a}+\frac{c}{7c+a+b}\geq \frac{bc+ca+ab}{(a+b+c)^{2}}.$$

Chứng minh.

Cách 1: BĐT tương đương với $$\sum a^{5}+10\left[\sum bc(b^{3}+c^{3})\right]+91abc\left(\sum a^{2}\right)-11\left[\sum b^{2}c^{2}(b+c)\right]-90abc\left(\sum bc\right)\geq 0.$$

Ta có: $$\sum a^{5}+2abc\left(\sum a^{2}\right)-\sum bc(b^{3}+c^{3})-abc\left(\sum bc\right)=\frac{\sum bc(b^{2}+c^{2})(b+c)^{2}(b-c)^{2}}{(b+c)(c+a)(a+b)}\geq 0.$$

Vì vậy ta cần chứng minh $$11\left[\sum bc(b^{3}+c^{3})\right]+89abc\left(\sum a^{2}\right)-11\left[\sum b^{2}c^{2}(b+c)\right]-89abc\left(\sum bc\right)\geq 0,$$

đúng vì $\sum bc(b^{3}+c^{3})\geq \sum b^{2}c^{2}(b+c)$ và $\sum a^{2}\geq \sum bc$.

Cách 2: Chuẩn hóa $a+b+c=6$. Biến đổi $pqr$ và chia trường hợp.

 

Trở lại bài toán. Áp dụng BĐT C-S:

$$VT\geq \frac{\left(\sum \dfrac{a^{2}}{b^{2}}\right)^{2}}{15-3\left(\sum \sqrt[3]{a}\right)}.$$

Ta cần chứng minh $$2\left(\sum \dfrac{a^{2}}{b^{2}}\right)^{2}+9\left(\sum \sqrt[3]{a}\right)\geq 45.$$

Do $\sum \dfrac{a^{2}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a}{b}\geq 3$ và $\sum \sqrt[3]{a}\geq 3\left(\sum \frac{a}{2a+1}\right)=9\left(\sum \frac{a}{7a+b+c}\right)\geq \frac{9(\sum bc)}{(\sum a)^{2}}$ (bổ đề 2) nên cuối cùng ta cần chứng minh

$$2\left(\sum \frac{a}{b}\right)+\frac{27(\sum bc)}{(\sum a)^{2}}\geq 15.$$

Sử dụng bổ đề 1 và BĐT AM-GM ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c$. $\square$

PS: Từ bổ đề 1 ta có cách chứng minh một kết quả mạnh hơn là

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{21(bc+ca+ab)}{(a+b+c)^{2}}\geq 10$$

bằng cách sử dụng đẳng thức

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{21(bc+ca+ab)}{(a+b+c)^{2}}-10=\frac{1}{(a+b+c)^{2}}\left[\sum \frac{(a-b)^{2}(b-2c)^{2}}{bc}\right]\geq 0.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 13-07-2021 - 17:46