Đến nội dung

Hình ảnh

$$\mathsf{solve}\left\{\begin{matrix}x+y-z+1=0\\x^2-y^2+z^2=1\\x^3-y^3-z^3=1\end{matrix}\right.$$

- - - - - system_of_equations

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$\mathsf{solve}\left\{\begin{matrix}x+ y- z+ 1= 0\\ x^{2}- y^{2}+ z^{2}- 1= 0\\ x^{3}- y^{3}- z^{3}- 1= 0\end{matrix}\right.$$



#2
Dang Hong Ngoc

Dang Hong Ngoc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

$\begin{cases}x+y-z+1=0(1)\\x^2-y^2+z^2=1(2)\\x^3-y^3-z^3=1(3)\end{cases}$

Nhận thấy $(-1;y;z)$ không phải là một nghiệm của hệ pt trên, xét $x\neq-1$ : 

pt $(2)\Leftrightarrow(x-1)(x+1)=(y-z)(y+z)=(y+z)(-1-x)$

$\Rightarrow x-1=-y-z$

$\Leftrightarrow x+y=1-z$

Từ pt $(1)$ ta có: $z-1=x+y=1-z\Rightarrow z=1$

Thay $z=1$ vào hệ ban đầu ta được hệ mới: $$\begin{cases}x+y=0\\x^2-y^2=0\\x^3-y^3=2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$$



#3
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

:) Bài này xét đủ case thoi.

Từ PT(1) ta có: $x+y=z-1$.

PT(2) cho ta: $(x-y)(x+y)=-(z+1)(z-1)$, suy ra $x+y=0$ hoặc $x-y=-(z+1)$.

a) Với $x+y=0$ thì $z=1$, suy ra  từ PT(3) ta có: $2x^3=2$ nên $y=-1$.

b) Với $x-y=-z-1$ và $x+y=z-1$ nên $2x=-2$ hay $x=-1$.

Suy ra $y=z$, nên PT(3) ta có: $2y^3=-2$ hay $y=z=-1$.

 

Vậy có $2$ bộ: $(x,y,z)=(-1,-1,-1);(1,-1,1)$.

 

P/S: :) Bài này giải trên tập phức vui hơn :) Khi đó các điểm $x,y,z$ đều nằm trên đường tròn bán kính $1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 09-07-2021 - 16:24

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh