Chủ đề này có 1 trả lời

[coconut00]

Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V, ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là trung điểm SO, (P) là 

mặt phẳng đi qua I cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích 

khối chóp S.MNPQ.

[Dark Repulsor]

Đặt $\dfrac{SA}{SM}=a$ ; $\dfrac{SB}{SN}=b$ ; $\dfrac{SC}{SP}=c$ ; $\dfrac{SD}{SQ}=d$  ($a,b,c,d\geq 1$)

Dễ thấy $a+c=b+d=\dfrac{2SO}{SI}=4$

$\dfrac{V_{S.IMN}}{V_{S.OAB}}=\dfrac{1}{2ab}$ ; $\dfrac{V_{S.OAB}}{V_{S.ABCD}}=\dfrac{S_{OAB}}{S_{ABCD}}=\dfrac{1}{4}$  $\Rightarrow \dfrac{8V_{S.IMN}}{V}=\dfrac{1}{ab}$

Tương tự rồi cộng lại ta có:  $\dfrac{8V_{S.MNPQ}}{V}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{cd}+\dfrac{1}{da}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{d}\right)=\dfrac{16}{acbd}\geq \dfrac{16}{\dfrac{(a+c)^{2}}{4}.\dfrac{(b+d)^{2}}{4}}=1$

$\Rightarrow V_{S.MNPQ}\geq \dfrac{V}{8}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d=2 \Leftrightarrow M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$