Chủ đề này có 1 trả lời

[coconut00]

Cho các số thực dương x,y,z thay đổi thỏa mãn điều kiện $x+2y-z\geq 0$. Tìm min :

$P=\frac{x}{10y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{x+2y}{3x+2y}$

[Dark Repulsor]

gt $\Rightarrow z\leq x+2y$

$P\geq \dfrac{x}{x+12y}+\dfrac{x}{2x+3y}+\dfrac{x+2y}{3x+2y}=\dfrac{x}{x+12y}+\dfrac{x}{2x+3y}-\dfrac{2x}{3x+2y}+1$

$=\dfrac{1}{1+\dfrac{12y}{x}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{3y}{x}}-\dfrac{2}{3+\dfrac{2y}{x}}+1$

Đặt $t=\dfrac{y}{x}$ ($t>0$).  $P\geq \dfrac{1}{12t+1}+\dfrac{1}{3t+2}-\dfrac{2}{2t+3}+1$

Xét hàm số $f(t)=\dfrac{1}{12t+1}+\dfrac{1}{3t+2}-\dfrac{2}{2t+3}+1$ trên ($0;+\infty$)

$f'(t)=\dfrac{-12}{(12t+1)^{2}}-\dfrac{3}{(3t+2)^{2}}+\dfrac{4}{(2t+3)^{2}}=\dfrac{-12(3t+2)^{2}(2t+3)^{2}-3(12t+1)^{2}(2t+3)^{2}+4(12t+1)^{2}}{\left[(12t+1)(3t+2)(2t+3)\right]^{2}}$

Đặt $g(t)=-12(3t+2)^{2}(2t+3)^{2}-3(12t+1)^{2}(2t+3)^{2}+4(12t+1)^{2}(3t+2)^{2}$

              $=-12(6t^{2}+13t+6)^{2}-3(24t^{2}+38t+3)^{2}+4(36t^{2}+27t+2)^{2}$

$=-12\left(36t^{4}+169t^{2}+36+156t^{3}+156t+72t^{2}\right)-3\left(576t^{4}+1444t^{2}+9+1824t^{3}+228t+144t^{2}\right)+4\left(1296t^{4}+729t^{2}+4+1944t^{3}+1 08t+144t^{2}\right)$

              $=3024t^{4}+432t^{3}-4164t^{2}-2124t-443$

Pt $g(t)=0$ có $2$ nghiệm $t_{1}\approx 1,338712414$ (nhận) và $t_{2}\approx -0,9745358389$ (loại)

$g'(t)=12096t^{3}+1296t^{2}-8328t-2124$.  $g'\left(t_{1}\right)>0 \Rightarrow t_{1}$ là điểm cực tiểu của hàm số $f(t)$

Vậy $P\geq f\left(t_{1}\right) \approx 0,8725482461$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (x;y;z)=\left(t;kt;(2k+1)t\right)$ với $k\approx 1,338712414$ và $t$ là số thực dương bất kỳ