Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình bậc hai. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp tổng $T_n = x_1^n + x_2^n$ không chia hết cho $715$.

- - - - - qui nạp pt bậc 2

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
betty

betty

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết

Cho $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 27x + 14 = 0$ và $n$ là số tự nhiên bất kì. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp tổng $T_n = x_1^n + x_2^n$ không chia hết cho $715$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi betty: 13-07-2021 - 16:39


#2
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Theo định lý Viète: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=27 \\ x_{1}x_{2}=14 \end{matrix}\right.$

$n=0$:  $T_{0}=2$ đúng

Xét bài toán với $n\in \mathbb{N^{*}}$:  $T_{1}=27$ , $T_{2}=701$

$T_{n+2}=x_{1}^{n+2}+x_{2}^{n+2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}^{n+1}+x_{2}^{n+1}\right)-x_{1}x_{2}\left(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}\right)=27T_{n+1}-14T_{n}$

Dễ cm bằng quy nạp $T_{n}\in \mathbb{Z}$  $\forall n\in \mathbb{N^{*}}$

Để ý rằng $715=5.11.13$ nên ta chỉ cần cm $T_{n}\not\vdots 5$ hoặc $T_{n}\not\vdots 11$ hoặc $T_{n}\not\vdots 13$  $\forall n\in \mathbb{N^{*}}$

Cách 1: Xét mod $5$:  $T_{n+2}\equiv 2T_{n+1}+T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:

$T_{1}\equiv 2$ , $T_{2}\equiv 1$ , $T_{3}\equiv 4$ , $T_{4}\equiv 4$ , $T_{5}\equiv 2$ , $T_{6}\equiv 3$ , $T_{7}\equiv 3$ , $T_{8}\equiv 4$ , $T_{9}\equiv 1$ , $T_{10}\equiv 1$ , $T_{11}\equiv 3$ , $T_{12}\equiv 2$ , $T_{13}\equiv 2$ , $T_{14}\equiv 1$ , $T_{15}\equiv 4$

Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $12$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $12$ dãy số dư mod $5$ là xong

Cách 2: Xét mod $11$:  $T_{n+2}\equiv 5T_{n+1}-3T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:

$T_{1}\equiv 5$ , $T_{2}\equiv 8$ , $T_{3}\equiv 3$ , $T_{4}\equiv 2$ , $T_{5}\equiv 1$ , $T_{6}\equiv 10$ , $T_{7}\equiv 3$ , $T_{8}\equiv 7$ , $T_{9}\equiv 4$ , $T_{10}\equiv 10$ , $T_{11}\equiv 5$ , $T_{12}\equiv 6$ , $T_{13}\equiv 4$ , $T_{14}\equiv 2$ , $T_{15}\equiv 9$ , $T_{16}\equiv 6$ , $T_{17}\equiv 3$ , $T_{18}\equiv 8$ , $T_{19}\equiv 9$ , $T_{20}\equiv 10$ , $T_{21}\equiv 1$ , $T_{22}\equiv 8$ , $T_{23}\equiv 4$ , $T_{24}\equiv 7$ , $T_{25}\equiv 1$ , $T_{26}\equiv 6$ , $T_{27}\equiv 5$ , $T_{28}\equiv 7$ , $T_{29}\equiv 9$ , $T_{30}\equiv 2$ , $T_{31}\equiv 5$ , $T_{32}\equiv 8$ , $T_{33}\equiv 3$

Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $30$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $30$ dãy số dư mod $11$ là xong

Cách 3: Xét mod $13$:  $T_{n+2}\equiv T_{n+1}-T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:

$T_{1}\equiv 1$ , $T_{2}\equiv 12$ , $T_{3}\equiv 11$ , $T_{4}\equiv 12$ , $T_{5}\equiv 1$ , $T_{6}\equiv 2$ , $T_{7}\equiv 1$ , $T_{8}\equiv 12$ , $T_{9}\equiv 11$

Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $6$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $6$ dãy số dư mod $13$ là xong


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 13-07-2021 - 23:35


#3
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Cho $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 27x + 14 = 0$ và $n$ là số tự nhiên bất kì. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp tổng $T_n = x_1^n + x_2^n$ không chia hết cho $715$.

Ta có:
$T_{1}=x_{1}+x_{2}=27,$
$T_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^2-2x_1x_2=701,$
$T_3=x_1^3+x_2^3=\left ( x_1+x_2 \right )[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]=27(27^2-3\cdot14)=27\cdot687$
Như vậy phát biểu "Tổng $T_n=x_1^n+x_2^n$ không chia hết cho 715 là đúng với $n=1,2,3$.
Giả sử phát biểu là đúng với $n=k-2, k-1, k$, ta tiến hành tính tổng $T_{k+1}$:

$$\begin{align*}
T_{k+1}=x_{1}^{k+1}+x_{2}^{k+1}&=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{k}+x_2^{k})-x_{1}x_{2}(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})\\
&=(x_{1}+x_{2})[(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-x_{1}x_{2}(x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})]-x_{1}x_{2}(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})\\
&=[(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}](x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})\\
&=(27^{2}-14)(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-27 \cdot 14(x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})\\
&=715(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-378(x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})
\end{align*}$$

Ta thấy $378$ không chia hết cho $715$ tức là $T_{k+1}$ không chia hết cho $715$ và theo nguyên lý quy nạp thì phát biểu trên là đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 13-07-2021 - 23:27

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Theo định lý Viète: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=27 \\ x_{1}x_{2}=14 \end{matrix}\right.$

$n=0$:  $T_{0}=2$ đúng

Xét bài toán với $n\in \mathbb{N^{*}}$:  $T_{1}=27$ , $T_{2}=701$

$T_{n+2}=x_{1}^{n+2}+x_{2}^{n+2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}^{n+1}+x_{2}^{n+1}\right)-x_{1}x_{2}\left(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}\right)=27T_{n+1}-14T_{n}$

Dễ cm bằng quy nạp $T_{n}\in \mathbb{Z}$  $\forall n\in \mathbb{N^{*}}$

Để ý rằng $715=5.11.13$ nên ta sẽ chia làm $3$ phần cm $T_{n}\not\vdots 5$ , $T_{n}\not\vdots 11$ , $T_{n}\not\vdots 13$  $\forall n\in \mathbb{N^{*}}$

$1$) Xét mod $5$:  $T_{n+2}\equiv 2T_{n+1}+T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:

$T_{1}\equiv 2$ , $T_{2}\equiv 1$ , $T_{3}\equiv 4$ , $T_{4}\equiv 4$ , $T_{5}\equiv 2$ , $T_{6}\equiv 3$ , $T_{7}\equiv 3$ , $T_{8}\equiv 4$ , $T_{9}\equiv 1$ , $T_{10}\equiv 1$ , $T_{11}\equiv 3$ , $T_{12}\equiv 2$ , $T_{13}\equiv 2$ , $T_{14}\equiv 1$ , $T_{15}\equiv 4$

Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $12$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $12$ dãy số dư mod $5$ là xong

$2$) Xét mod $11$:  $T_{n+2}\equiv 5T_{n+1}-3T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:

$T_{1}\equiv 5$ , $T_{2}\equiv 8$ , $T_{3}\equiv 3$ , $T_{4}\equiv 2$ , $T_{5}\equiv 1$ , $T_{6}\equiv 10$ , $T_{7}\equiv 3$ , $T_{8}\equiv 7$ , $T_{9}\equiv 4$ , $T_{10}\equiv 10$ , $T_{11}\equiv 5$ , $T_{12}\equiv 6$ , $T_{13}\equiv 4$ , $T_{14}\equiv 2$ , $T_{15}\equiv 9$ , $T_{16}\equiv 6$ , $T_{17}\equiv 3$ , $T_{18}\equiv 8$ , $T_{19}\equiv 9$ , $T_{20}\equiv 10$ , $T_{21}\equiv 1$ , $T_{22}\equiv 8$ , $T_{23}\equiv 4$ , $T_{24}\equiv 7$ , $T_{25}\equiv 1$ , $T_{26}\equiv 6$ , $T_{27}\equiv 5$ , $T_{28}\equiv 7$ , $T_{29}\equiv 9$ , $T_{30}\equiv 2$ , $T_{31}\equiv 5$ , $T_{32}\equiv 8$ , $T_{33}\equiv 3$

Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $30$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $30$ dãy số dư mod $11$ là xong

$3$) Xét mod $13$:  $T_{n+2}\equiv T_{n+1}-T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:

$T_{1}\equiv 1$ , $T_{2}\equiv 12$ , $T_{3}\equiv 11$ , $T_{4}\equiv 12$ , $T_{5}\equiv 1$ , $T_{6}\equiv 2$ , $T_{7}\equiv 1$ , $T_{8}\equiv 12$ , $T_{9}\equiv 11$

Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $6$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $6$ dãy số dư mod $13$ là xong

Chỉ cần chứng minh $T_n$ không chia hết một trong các ước của $715$ là đủ rồi :)


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Chỉ cần chứng minh $T_n$ không chia hết một trong các ước của $715$ là đủ rồi :)

Uh nhỉ. Em hơi bị lú xíu  :wacko:  







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: qui nạp, pt bậc 2

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh