Cho $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 27x + 14 = 0$ và $n$ là số tự nhiên bất kì. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp tổng $T_n = x_1^n + x_2^n$ không chia hết cho $715$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi betty: 13-07-2021 - 16:39
Cho $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 27x + 14 = 0$ và $n$ là số tự nhiên bất kì. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp tổng $T_n = x_1^n + x_2^n$ không chia hết cho $715$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi betty: 13-07-2021 - 16:39
Theo định lý Viète: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=27 \\ x_{1}x_{2}=14 \end{matrix}\right.$
$n=0$: $T_{0}=2$ đúng
Xét bài toán với $n\in \mathbb{N^{*}}$: $T_{1}=27$ , $T_{2}=701$
$T_{n+2}=x_{1}^{n+2}+x_{2}^{n+2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}^{n+1}+x_{2}^{n+1}\right)-x_{1}x_{2}\left(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}\right)=27T_{n+1}-14T_{n}$
Dễ cm bằng quy nạp $T_{n}\in \mathbb{Z}$ $\forall n\in \mathbb{N^{*}}$
Để ý rằng $715=5.11.13$ nên ta chỉ cần cm $T_{n}\not\vdots 5$ hoặc $T_{n}\not\vdots 11$ hoặc $T_{n}\not\vdots 13$ $\forall n\in \mathbb{N^{*}}$
Cách 1: Xét mod $5$: $T_{n+2}\equiv 2T_{n+1}+T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:
$T_{1}\equiv 2$ , $T_{2}\equiv 1$ , $T_{3}\equiv 4$ , $T_{4}\equiv 4$ , $T_{5}\equiv 2$ , $T_{6}\equiv 3$ , $T_{7}\equiv 3$ , $T_{8}\equiv 4$ , $T_{9}\equiv 1$ , $T_{10}\equiv 1$ , $T_{11}\equiv 3$ , $T_{12}\equiv 2$ , $T_{13}\equiv 2$ , $T_{14}\equiv 1$ , $T_{15}\equiv 4$
Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $12$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $12$ dãy số dư mod $5$ là xong
Cách 2: Xét mod $11$: $T_{n+2}\equiv 5T_{n+1}-3T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:
$T_{1}\equiv 5$ , $T_{2}\equiv 8$ , $T_{3}\equiv 3$ , $T_{4}\equiv 2$ , $T_{5}\equiv 1$ , $T_{6}\equiv 10$ , $T_{7}\equiv 3$ , $T_{8}\equiv 7$ , $T_{9}\equiv 4$ , $T_{10}\equiv 10$ , $T_{11}\equiv 5$ , $T_{12}\equiv 6$ , $T_{13}\equiv 4$ , $T_{14}\equiv 2$ , $T_{15}\equiv 9$ , $T_{16}\equiv 6$ , $T_{17}\equiv 3$ , $T_{18}\equiv 8$ , $T_{19}\equiv 9$ , $T_{20}\equiv 10$ , $T_{21}\equiv 1$ , $T_{22}\equiv 8$ , $T_{23}\equiv 4$ , $T_{24}\equiv 7$ , $T_{25}\equiv 1$ , $T_{26}\equiv 6$ , $T_{27}\equiv 5$ , $T_{28}\equiv 7$ , $T_{29}\equiv 9$ , $T_{30}\equiv 2$ , $T_{31}\equiv 5$ , $T_{32}\equiv 8$ , $T_{33}\equiv 3$
Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $30$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $30$ dãy số dư mod $11$ là xong
Cách 3: Xét mod $13$: $T_{n+2}\equiv T_{n+1}-T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:
$T_{1}\equiv 1$ , $T_{2}\equiv 12$ , $T_{3}\equiv 11$ , $T_{4}\equiv 12$ , $T_{5}\equiv 1$ , $T_{6}\equiv 2$ , $T_{7}\equiv 1$ , $T_{8}\equiv 12$ , $T_{9}\equiv 11$
Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $6$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $6$ dãy số dư mod $13$ là xong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 13-07-2021 - 23:35
Ta có:Cho $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 27x + 14 = 0$ và $n$ là số tự nhiên bất kì. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp tổng $T_n = x_1^n + x_2^n$ không chia hết cho $715$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 13-07-2021 - 23:27
Theo định lý Viète: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=27 \\ x_{1}x_{2}=14 \end{matrix}\right.$
$n=0$: $T_{0}=2$ đúng
Xét bài toán với $n\in \mathbb{N^{*}}$: $T_{1}=27$ , $T_{2}=701$
$T_{n+2}=x_{1}^{n+2}+x_{2}^{n+2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}^{n+1}+x_{2}^{n+1}\right)-x_{1}x_{2}\left(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}\right)=27T_{n+1}-14T_{n}$
Dễ cm bằng quy nạp $T_{n}\in \mathbb{Z}$ $\forall n\in \mathbb{N^{*}}$
Để ý rằng $715=5.11.13$ nên ta sẽ chia làm $3$ phần cm $T_{n}\not\vdots 5$ , $T_{n}\not\vdots 11$ , $T_{n}\not\vdots 13$ $\forall n\in \mathbb{N^{*}}$
$1$) Xét mod $5$: $T_{n+2}\equiv 2T_{n+1}+T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:
$T_{1}\equiv 2$ , $T_{2}\equiv 1$ , $T_{3}\equiv 4$ , $T_{4}\equiv 4$ , $T_{5}\equiv 2$ , $T_{6}\equiv 3$ , $T_{7}\equiv 3$ , $T_{8}\equiv 4$ , $T_{9}\equiv 1$ , $T_{10}\equiv 1$ , $T_{11}\equiv 3$ , $T_{12}\equiv 2$ , $T_{13}\equiv 2$ , $T_{14}\equiv 1$ , $T_{15}\equiv 4$
Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $12$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $12$ dãy số dư mod $5$ là xong
$2$) Xét mod $11$: $T_{n+2}\equiv 5T_{n+1}-3T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:
$T_{1}\equiv 5$ , $T_{2}\equiv 8$ , $T_{3}\equiv 3$ , $T_{4}\equiv 2$ , $T_{5}\equiv 1$ , $T_{6}\equiv 10$ , $T_{7}\equiv 3$ , $T_{8}\equiv 7$ , $T_{9}\equiv 4$ , $T_{10}\equiv 10$ , $T_{11}\equiv 5$ , $T_{12}\equiv 6$ , $T_{13}\equiv 4$ , $T_{14}\equiv 2$ , $T_{15}\equiv 9$ , $T_{16}\equiv 6$ , $T_{17}\equiv 3$ , $T_{18}\equiv 8$ , $T_{19}\equiv 9$ , $T_{20}\equiv 10$ , $T_{21}\equiv 1$ , $T_{22}\equiv 8$ , $T_{23}\equiv 4$ , $T_{24}\equiv 7$ , $T_{25}\equiv 1$ , $T_{26}\equiv 6$ , $T_{27}\equiv 5$ , $T_{28}\equiv 7$ , $T_{29}\equiv 9$ , $T_{30}\equiv 2$ , $T_{31}\equiv 5$ , $T_{32}\equiv 8$ , $T_{33}\equiv 3$
Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $30$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $30$ dãy số dư mod $11$ là xong
$3$) Xét mod $13$: $T_{n+2}\equiv T_{n+1}-T_{n}$. Tính toán một vài số hạng đầu ta có:
$T_{1}\equiv 1$ , $T_{2}\equiv 12$ , $T_{3}\equiv 11$ , $T_{4}\equiv 12$ , $T_{5}\equiv 1$ , $T_{6}\equiv 2$ , $T_{7}\equiv 1$ , $T_{8}\equiv 12$ , $T_{9}\equiv 11$
Ta thấy dãy trên tuần hoàn với chu kỳ $6$. Từ đó xây dựng quy nạp đồng thời $6$ dãy số dư mod $13$ là xong
Chỉ cần chứng minh $T_n$ không chia hết một trong các ước của $715$ là đủ rồi
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
cho pt b2 có 2 n t/m 0$\leq x_{1}\leq x_{2}\leq 2$ tìm gtln của b thức chứa các hệ số a,b,cBắt đầu bởi jandithuhoai25, 11-06-2013 gtln, pt bậc 2, pt bac 2, x1, x2 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình →
PT BẬC 2 THAM SỐ M.Bắt đầu bởi hoangdaikpro, 21-03-2013 pt bậc 2 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh