Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xy=yz+zx$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\frac{4z(z^2-xy)-(x^2+y^2)(2z-x-y)}{(x+y)z^2}$$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 14-07-2021 - 15:58
Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xy=yz+zx$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\frac{4z(z^2-xy)-(x^2+y^2)(2z-x-y)}{(x+y)z^2}$$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 14-07-2021 - 15:58
Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $xy=yz=zx$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\frac{4z(z^2-xy)-(x^2+y^2)(2z-x-y)}{(x+y)z^2}$$.
Cho a,b,c mà sao điều kiện là x,y,z vậy. Bn xem lại nha
Nếu có một bài toán bạn không giải được thì chắc chắn cũng có một bài toán khác dễ hơn mà bạn có thể giải được. Hãy tìm nó.
Cho a,b,c mà sao điều kiện là x,y,z vậy. Bn xem lại nha
Ok mình sửa rồi nha, lag tí
gt $\Rightarrow z=\dfrac{xy}{x+y}$
$$P=\dfrac{\dfrac{4xy}{x+y}\left[\dfrac{x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}}-xy\right]-(x^{2}+y^{2})\left(\dfrac{2xy}{x+y}-x-y\right)}{\dfrac{x^{2}y^{2}}{x+y}}=\dfrac{\dfrac{-4x^{2}y^{2}(x^2+y^{2}+xy)}{(x+y)^{2}}+(x^{2}+y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^{2}-\dfrac{4(x^{2}+y^{2}+xy)}{(x+y)^{2}}=\dfrac{x^{2}}{y^{2}}+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}-\dfrac{3(x^{2}+y^{2})+2xy}{(x+y)^{2}}+1=\dfrac{(x^{4}+y^{4})(x+y)^{2}-x^{2}y^{2}\left[3(x^{2}+y^{2})+2xy\right]}{\left[xy(x+y)\right]^{2}}+1=\dfrac{x^{6}+y^{6}+2x^{5}y+2xy^{5}-2x^{4}y^{2}-2x^{2}y^{4}-2x^{3}y^{3}}{\left[xy(x+y)\right]^{2}}+1$$
Áp dụng bđt AM - GM: $x^{6}+x^{5}y+xy^{5}\geq 3x^{4}y^{2}$ ; $y^{6}+x^{5}y+xy^{5}\geq 3x^{2}y^{4}$ ; $x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}\geq 2x^{3}y^{3}$
$\Rightarrow P\geq 1$. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y$ và $z=\dfrac{1}{2}$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh