Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\frac{4z(z^2-xy)-(x^2+y^2)(2z-x-y)}{(x+y)z^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xy=yz+zx$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=\frac{4z(z^2-xy)-(x^2+y^2)(2z-x-y)}{(x+y)z^2}$$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 14-07-2021 - 15:58


#2
tkd23112006

tkd23112006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $xy=yz=zx$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=\frac{4z(z^2-xy)-(x^2+y^2)(2z-x-y)}{(x+y)z^2}$$.

Cho a,b,c mà sao điều kiện là x,y,z vậy. Bn xem lại nha


Nếu có một bài toán bạn không giải được thì chắc chắn cũng có một bài toán khác dễ hơn mà bạn có thể giải được. Hãy tìm nó.


#3
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho a,b,c mà sao điều kiện là x,y,z vậy. Bn xem lại nha

Ok mình sửa rồi nha, lag tí :)



#4
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

gt $\Rightarrow z=\dfrac{xy}{x+y}$

$$P=\dfrac{\dfrac{4xy}{x+y}\left[\dfrac{x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}}-xy\right]-(x^{2}+y^{2})\left(\dfrac{2xy}{x+y}-x-y\right)}{\dfrac{x^{2}y^{2}}{x+y}}=\dfrac{\dfrac{-4x^{2}y^{2}(x^2+y^{2}+xy)}{(x+y)^{2}}+(x^{2}+y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^{2}-\dfrac{4(x^{2}+y^{2}+xy)}{(x+y)^{2}}=\dfrac{x^{2}}{y^{2}}+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}-\dfrac{3(x^{2}+y^{2})+2xy}{(x+y)^{2}}+1=\dfrac{(x^{4}+y^{4})(x+y)^{2}-x^{2}y^{2}\left[3(x^{2}+y^{2})+2xy\right]}{\left[xy(x+y)\right]^{2}}+1=\dfrac{x^{6}+y^{6}+2x^{5}y+2xy^{5}-2x^{4}y^{2}-2x^{2}y^{4}-2x^{3}y^{3}}{\left[xy(x+y)\right]^{2}}+1$$

Áp dụng bđt AM - GM:  $x^{6}+x^{5}y+xy^{5}\geq 3x^{4}y^{2}$  ;  $y^{6}+x^{5}y+xy^{5}\geq 3x^{2}y^{4}$  ;  $x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}\geq 2x^{3}y^{3}$

$\Rightarrow P\geq 1$. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y$ và $z=\dfrac{1}{2}$


  • DBS yêu thích




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh