Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 1+(a^3+b^3+c^3-3abc)^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 1+(a^3+b^3+c^3-3abc)^2$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 15-07-2021 - 15:53


#2
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Sử dụng bổ đề $1$ trong https://diendantoanh...q-2a2b2c2sqrt3/

Ta đưa về cm:  $$\dfrac{\sum a\sum a^{2}}{\sum ab}\geq 1+\left(\sum a^{3}-3\prod a\right)^{2}$$

Để ý rằng:  $$\sum a^{2}=1-2\sum ab$$

$$\sum a^{3}-3\prod a=\left(\sum a\right)\left(\sum a^{2}-\sum ab\right)=1-3\sum ab$$

Đặt $t=\sum ab$  $\left(0<t\leq \dfrac{1}{3}\right)$ và thay vào bđt:

$$\dfrac{1-2t}{t}\geq 1+(1-3t)^{2} \Leftrightarrow 9t^{3}-6t^{2}+4t-1\leq 0 \Leftrightarrow (3t-1)(3t^{2}-t+1)\leq 0$$

hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}$

P/s: Với cách cm trên ta có thể làm chặt hết cỡ bđt như sau:

$$\sum_{cyc}\frac{a^{2}}{b}\geq \left(\sum a^{3}-3\prod a\right)^{2}-9\sum ab+4$$



#3
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Sử dụng bổ đề $1$ trong https://diendantoanh...q-2a2b2c2sqrt3/

Cho em hỏi làm sao để biết những bổ đề này mà áp dụng ạ?



#4
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Đọc sách tìm tòi trên mạng thôi em. Chứ ko có cái gì là tự nhiên biết đc cả



#5
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Đọc sách tìm tòi trên mạng thôi em. Chứ ko có cái gì là tự nhiên biết đc cả

Nhưng em đang tìm một cuốn sách có thể giúp em mở mang ạ. Vậy anh có thể gợi ý giúp em một số cuốn được không ạ?



#6
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Năm nay chắc em lên lớp 10 nhỉ? Em cần tìm sách về phần gì? (tổ hợp, số học, đa thức, dãy số, hình học, bđt, ...?)


  • DBS yêu thích

#7
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Năm nay chắc em lên lớp 10 nhỉ? Em cần tìm sách về phần gì? (tổ hợp, số học, đa thức, dãy số, hình học, bđt, ...?)

Năm nay em lên lớp 10 luôn ạ.

Em cần tìm sách tổ hợp, số học, bđt và hình học với muốn tìm hiểu mấy cái như phương trình hàm ạ anh






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh