Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh với mọi cách chia, luôn tồn tại ba phần tử $a<b<c$ thuộc cùng một tập sao cho $a+c=2b$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 17 Bài viết

Đã gửi 16-07-2021 - 10:00

Cho tập $X\doteq \left \{ 1,2,3,....,9 \right \}$, chia tập X thành hai tập rời nhau A và B. Chứng minh với mọi cách chia, luôn tồn tại ba phần tử $a<b<c$ thuộc cùng một tập sao cho $a+c=2b$.



#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4278 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 17-07-2021 - 00:13

$a+c=2b \Leftrightarrow a-b=b-c \Leftrightarrow (a;b;c)$ là một cấp số cộng (CSC).

Phân hoạch thành hai tập tương đương với việc tô mỗi số bằng một trong hai màu cho trước.

Đây là một trường hợp kinh điển không tầm thường của định lý Van der Waerden. https://en.wikipedia...erden's_theorem

Cách chứng minh đầu tiên do V. Chvátal đề xuất bằng vét cạn: http://users.encs.co...chvatal/vwn.pdf

Có thể giảm số trường hợp cần xét bằng một số nhận xét sau:

Mọi bộ 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ tạo thành một CSC. Do đó, chỉ cần xét những trường hợp mà không có 3 số tự nhiên liên tiếp nào cùng một màu.

Cuối cùng, có khoảng một chục cách để tô màu các số $1\ldots 8$ sao cho không thỏa đề.  https://datagenetics...2017/index.html

Với mỗi cách này, khi thêm số $9$ vào, bất kể màu nào, cũng sẽ tạo thành một CSC.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#3 Dennis Nguyen

Dennis Nguyen

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 17 Bài viết

Đã gửi 20-07-2021 - 09:41

$a+c=2b \Leftrightarrow a-b=b-c \Leftrightarrow (a;b;c)$ là một cấp số cộng (CSC).

Phân hoạch thành hai tập tương đương với việc tô mỗi số bằng một trong hai màu cho trước.

Đây là một trường hợp kinh điển không tầm thường của định lý Van der Waerden. https://en.wikipedia...erden's_theorem

Cách chứng minh đầu tiên do V. Chvátal đề xuất bằng vét cạn: http://users.encs.co...chvatal/vwn.pdf

Có thể giảm số trường hợp cần xét bằng một số nhận xét sau:

Mọi bộ 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ tạo thành một CSC. Do đó, chỉ cần xét những trường hợp mà không có 3 số tự nhiên liên tiếp nào cùng một màu.

Cuối cùng, có khoảng một chục cách để tô màu các số $1\ldots 8$ sao cho không thỏa đề.  https://datagenetics...2017/index.html

Với mỗi cách này, khi thêm số $9$ vào, bất kể màu nào, cũng sẽ tạo thành một CSC.

Bạn có thể trình bày rõ ra giúp mình với! Bạn chỉ cần giúp mình bài mình hỏi ý! 



#4 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4278 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 20-07-2021 - 14:21

Bạn có thể trình bày rõ ra giúp mình với! Bạn chỉ cần giúp mình bài mình hỏi ý! 

Như mình đã nói phía trên. Việc phân chia thành hai tập hợp là tương đương với việc tô mỗi số bằng một trong hai màu, chẳng hạn xanh đỏ.

Bây giờ chỉ cần xét tập $Y$ từ $1$ đến $8$. Nếu trong cách tô màu (phân hoạch) mà có 3 số trong $Y$ cùng màu tạo thành CSC thì số $9$ cuối cùng tô màu gì cũng không quan trọng.

Ta xét trường hợp còn lại: có cách tô màu $Y$ để không có 3 số cùng màu nào tạo thành CSC.

Sẽ có 7 cách tất cả như thế (bạn tham khảo https://datagenetics...2017/index.html )

Với mỗi cách này, khi thêm số 9 vào cuối, bất kể bạn chọn màu nào, thì cũng sẽ tạo thành một CSC (có số 9 tận cùng).


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh