Chủ đề này có 1 trả lời

[lucas123]

Tìm m để phương trình có nghiệm: $2x-2\sqrt{x-\sqrt{x^2-4}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-4}}=2m+2\sqrt{x^2-4}$

[Dark Repulsor]

ĐKXĐ:  $x\geq 2$

Để ý rằng:  $\sqrt{2x\pm 2\sqrt{x^{2}-4}}=\left(\sqrt{x+2}\pm \sqrt{x-2}\right)^{2}$

Pt $\Leftrightarrow m=x-\sqrt{x^{2}-4}-\dfrac{\sqrt{x+2}}{2\sqrt{2}}+\dfrac{3\sqrt{x-2}}{2\sqrt{2}}$

Xét hàm số $f(x)=x-\sqrt{t^{2}-4}-\dfrac{\sqrt{x+2}}{2\sqrt{2}}+\dfrac{3\sqrt{x-2}}{2\sqrt{2}}$  trên [$2;+\infty$)

$f'(x)=1-\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}-\dfrac{1}{4\sqrt{2(x+2)}}+\dfrac{3}{4\sqrt{2(x-2)}}$

$f'(x)=0 \Leftrightarrow 4\sqrt{2(x^{2}-4)}-4\sqrt{2}x-\sqrt{x-2}+3\sqrt{x+2}=0 \Leftrightarrow 4\sqrt{2(x^{2}-4)}+3\sqrt{x+2}=4\sqrt{2}x+\sqrt{x-2}$

Bình phương $2$ vế (ở đây ta ko đặt thêm đk mà sẽ giải ra nghiệm rồi thử lại):

$32(x^{2}-4)+9(x+2)+24(x+2)\sqrt{2(x-2)}=32x^{2}+x-2+8x\sqrt{2(x-2)}$

$\Leftrightarrow 4(x+3)\sqrt{2(x-2)}=27-2x$

Bình phương $2$ vế:  $32(x^{2}+6x+9)(x-2)=729-108x+4x^{2}$

$\Leftrightarrow 32x^{3}+124x^{2}+12x-1305=0 \Leftrightarrow (2x-5)(16x^{2}+102x+261)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$  (thử lại đúng)

Vẽ bảng biến thiên của $f(x)$ ta thấy $f(x)\in [1;+\infty)$. Suy ra $m\geq 1$ là điều kiện để pt có nghiệm