Đến nội dung


Hình ảnh

Giải công thức đệ quy sau: $a_n = 4a_{n-1} - 3a_{n-2} + 2^n + n +3$, biết $a_0 =1 $ và $a_1 = 4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 betty

betty

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Đã gửi 19-07-2021 - 15:29

Giải công thức đệ quy sau: $a_n = 4a_{n-1} - 3a_{n-2} + 2^n + n +3$, biết $a_0 =1 $ và $a_1 = 4$



#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4279 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 19-07-2021 - 20:28

Gợi ý: Đặt $b_n = a_n - a_{n-1}$. Tìm $b_n$ rồi suy ra $a_n$ vì $a_n = \sum\limits_{m=0}^{n} b_m$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#3 Nobodyv3

Nobodyv3

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Erroneous Version

Đã gửi 20-07-2021 - 13:31

Giải công thức đệ quy sau: $a_n = 4a_{n-1} - 3a_{n-2} + 2^n + n +3$, biết $a_0 =1 $ và $a_1 = 4$

Ta có :
$$a_{n}-4a_{n-1}+3a_{n-2}=2^{n}+n+3$$   $(1)$
Hệ thức đệ qui tuyến tính là :
$$ a_{n}-4a_{n-1}+3a_{n-2}=0 $$    $(2)$
có phương trình đặc trưng sau:
$$r^{2}-4r+3=0$$   $(3)$
có 2 nghiệm phân biệt $r_{1}=1,r_{2}=3$. Do đó nghiệm tổng quát của $(2)$ là
$$a_{n}^{\left ( h \right )}=A+B.3^{n}$$   $(3)$
Vế phải của $(1)$ là $f\left ( n \right )=2^{n}+n+3$. Xét các hệ thức đệ qui:
$\bullet\quad a_{n}-4a_{n-1}+3a_{n-2}=2^{n}$    $(1')$ có nghiệm riêng dạng $c2^{n}$, thế vào $(1')$ ta được $c=-4$ suy ra nghiệm riêng của $(1')$ là $a_{n_{1}}=-4.2^{n}$
$\bullet\quad a_{n}-4a_{n-1}+3a_{n-2}=n.1^{n}$    $(1'')$ có nghiệm riêng dạng $n(cn+d)$, thế vào $(1'')$ ta được $c=-\frac{1}{4}$ và $d=-1$ suy ra nghiệm riêng của $(1'')$ là $a_{n_{2}}=-\frac{1}{4}.n^{2}-n$
$\bullet\quad a_{n}-4a_{n-1}+3a_{n-2}=3$   $(1''')$ có nghiệm riêng dạng $cn$, thế vào $(1''')$ ta được $c=-\frac{3}{2}$ suy ra nghiệm riêng của $(1''')$ là $a_{n_{3}}=-\frac{3}{2}n$.
Suy ra nghiệm riêng của $(1)$ là $$a_{n}^{\left ( p \right )}=-4.2^{n}-\frac{1}{4}n^{2}-n-\frac{3}{2}n=-4.2^{n}-\frac{1}{4}n^{2}-\frac{5}{2}n$$    $(4)$
Từ $(3)$ và $(4)$ ta có nghiệm tổng quát của $(1)$:
$$a_{n}=a_{n}^{(h)}+a_{n}^{(p)}=A+B.3^{n}-4.2^{n}-\frac {1}{4}n^{2}-\frac {5}{2}n$$  $(5)$
Thế $n=0, n=1$ vào $(5)$ ta được $A=\frac {1}{8}$ và $B=\frac {39}{8}$.
Vậy nghiệm tổng quát của $(1)$ là :
$$\boxed {a_{n}=\frac {1}{8}+\frac {39}{8}3^{n}-4.2^{n}-\frac{1}{4}n^{2}-\frac {5}{2}n}$$

#4 Nobodyv3

Nobodyv3

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Erroneous Version

Đã gửi 22-07-2021 - 18:07

Vâng, mình có thể kiểm tra kết quả bằng cách tiếp cận bài toán theo hướng khác là sử dụng hàm sinh như sau :
Ta có :
$$a_{n}=4a_{n-1}-3a_{n-2}+2^{n}+n+3$$ $(1)$
Gọi $G(x)=\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}x^{n}$ là hàm sinh của dãy $a_{0}, a_{1}, a_{2},...$ và nhân 2 vế của $(1)$ với $x^{n}$ rồi cộng vế với vế ta được :
$\begin {align*}
G(x)=&\quad\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}= \sum_{n=0}^{\infty } 4a_{n-1}x^n- \sum_{n=0}^{\infty } 3a_{n-2}x^n+ \sum_{n=0}^{\infty }
2^{n}x^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty }
nx^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty } 3x^{n}\\
G(x)-1-4x=&\quad 4 \sum_{n=2}^{\infty } a_{n-1}x^{n}-3 \sum_{n=2}^{\infty } a_{n-2}x^{n}+\sum_{n=2}^{\infty }\left(2^{n}+n+3\right)x^{n}\\
=&\quad 4x\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}x^{n}-3x^{2}\sum_{n=2}^{\infty } a_{n-2}x^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty } 2^{n}x^{n}-1-2x\\
&\quad +\sum_{n=0}^{\infty } nx^{n}-x+\sum_{n=0}^{\infty } 3x^{n}-3-3x\\
=&\quad 4x\left ( G(x)-1 \right )-3x^{2}G(x)+\frac{1}{1-2x}-1-2x\\
&\quad +\frac{x}{\left ( 1-x \right )^2}-x+\frac{3}{1-x}-3-3x\\
G(x)-4xG(x)+3x^{2}G(x)=&\quad 1+\frac{1}{1-2x}-\left ( 1+2x \right )+\frac{x}{\left ( 1-x \right )^{2}}\\
&\quad -x+\frac{3}{1-x}-3\left ( 1+x \right )\\
G(x)\left [\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )\right] =&\quad \frac{1}{1-2x}-6x-3+\frac{x}{\left ( 1-x \right )^{2}}+\frac{3}{1-x}
\end{align*}$
Tiến hành tách phân thức :
$\begin{align*}
\frac {1}{\left ( 1-2x \right )\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x}-\frac{4}{1-2x}+\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{1-3x} \\
-3\frac{\left ( 2x+1 \right )}{\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{1-x}-\frac{15}{2}\cdot \frac{1}{1-3x} \\
\frac{x}{\left ( 1-x \right )^{2}\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= -\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{1-x}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\left ( 1-x \right )^{2}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\left ( 1-x \right )^{3}}\\&+\frac{9}{8}\cdot \frac{1}{1-3x}\\
\frac{3}{\left ( 1-x \right )\left ( x-1 \right )\left ( 3x-1 \right )} &= -\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{1-x}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{\left ( x-1 \right )^{2}}+\frac{27}{4}\cdot \frac{1}{1-3x}.
\end{align*}$
$\Rightarrow G(x)=\frac {1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-4\sum_{n=0}^{\infty }2^{n}x^{n}+\frac {9}{2}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}+\frac {9}{2}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-\frac {15}{2}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}-\frac {3}{8}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-\frac {1}{4}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )x^{n}-\frac {1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{2}x^{n}+\frac {9}{8}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}-\frac {9}{4}\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-\frac {3}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )x^{n}+\frac {27}{4}\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}x^{n}$
$\Rightarrow a_{n}=\frac {1}{2}-4\cdot2^{n}+\frac {9}{2}\cdot 3^{n}+\frac {9}{2}-\frac{15}{2}\cdot3^{n}-\frac{3}{8}-\frac{1}{4}\left ( n+1 \right )\\-\frac{1}{4} \left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )+\frac {9}{8}\cdot3^{n}- \frac {9}{4}-\frac{3}{2}\left ( n+1 \right )+\frac {27}{4}\cdot 3^{n}$
Vậy công thức tường minh là :
$$\boxed {a_{n}=\frac {39}{8}\cdot3^{n}-4\cdot2^{n}-\frac{1}{4}\cdot n^{2}-\frac{5}{2}\cdot n+\frac {1}{8}}$$

Ps: Bạn xem tạm vậy! (Mình mất rất nhiều thời gian sửa lỗi xử lý toán của Latex)!!!
File gửi kèm  CodeCogsEqn.gif   22.46K   0 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 23-07-2021 - 00:21





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh