Chủ đề này có 2 trả lời

[Ho Thi Thanh Truc]

Chứng minh rằng phương trình Đi-ô-phăng sau:

 

$2y^{3}=x^{3}+4$

 

không có nghiệm nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ho Thi Thanh Truc: 19-07-2021 - 17:00

[Duy Quang Vu 2007]

Ta có: $x^3,y^3$ chia 9 dư 0;1;8

$\Rightarrow 2y^3$ chia 9 dư 0;2;7;

$x^3+4$ chia 9 dư 4;5;3.

Do đó phương trình vô nghiệm nguyên.

[Nguyen Huyen Dieu]

Mình giới thiệu thêm thêm cach khac nhé :

2y³ = x³ + 4

Dễ thấy nếu một trong các nghiệm x,y của pt bằng 0 thì nghiệm còn lại không là số nguyên.Từ đó nghiệm nguyên nếu có của phương trình phải khac 0

Giả sử (x,y) = d $\rightarrow$ x = dx₁ , y = dy₁ với (x₁,y₁) = 1

2y³ = x³ + 4 $\rightarrow$ 2y₁³d³ = x₁³d³ + 4 $\Leftrightarrow$ (2y₁³ - x₁³)d³ = 4 $\rightarrow$ d³ là Ư(4) $\rightarrow$

d³ $\epsilon$ {$\pm 1,\pm 2,\pm 4,$} $\rightarrow$ d³ = $\pm 1$$\rightarrow$ d =$\pm 1$

Với d = 1 ta có 2y₁³ - x₁³ = 4 $\rightarrow$ x₁³ = 2y₁³ -  4 = 2(y₁³ - 2) $\vdots$ 2 $\rightarrow$ x₁ $\vdots$ 2 ​ $\rightarrow$ x₁= 2x₂ Từ đó 2y₁³ - x₁³ = 4 $\rightarrow$ ​ 2y₁³ - 8x₂³ = 4  $\rightarrow$ y₁³ - 4x₂³ = 2  $\rightarrow$ y₁³ $\vdots$ 2 $\rightarrow$ y₁ $\vdots$ 2 ​ $\rightarrow$ y₁=2y₂ $\rightarrow$  (x₁,y₁) = 2(x₂,y₂) =1 mâu thuẫn

Với d = -1 cmtt ta cũng dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy pt đã cho ko có nghiệm nguyên