Đến nội dung


Hình ảnh

$2y^{3}=x^{3}+4$

phương trình nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Ho Thi Thanh Truc

Ho Thi Thanh Truc

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-07-2021 - 16:58

Chứng minh rằng phương trình Đi-ô-phăng sau:

 

$2y^{3}=x^{3}+4$

 

không có nghiệm nguyên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ho Thi Thanh Truc: 19-07-2021 - 17:00


#2 Duy Quang Vu 2007

Duy Quang Vu 2007

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cẩm Phả, Quảng Ninh
  • Sở thích:Toán học, Anime.

Đã gửi 19-07-2021 - 19:35

Ta có: $x^3,y^3$ chia 9 dư 0;1;8

$\Rightarrow 2y^3$ chia 9 dư 0;2;7;

$x^3+4$ chia 9 dư 4;5;3.

Do đó phương trình vô nghiệm nguyên.



#3 Nguyen Huyen Dieu

Nguyen Huyen Dieu

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-07-2021 - 20:36

Mình giới thiệu thêm thêm cach khac nhé :

2y3 = x3 + 4

Dễ thấy nếu một trong các nghiệm x,y của pt bằng 0 thì nghiệm còn lại không là số nguyên.Từ đó nghiệm nguyên nếu có của phương trình phải khac 0

Giả sử (x,y) = d $\rightarrow$ x = dx1 , y = dy1 với (x1,y1) = 1

2y3 = x3 + 4 $\rightarrow$ 2y13d3 = x13d3 + 4 $\Leftrightarrow$ (2y13 - x13)d3 = 4 $\rightarrow$ d3 là Ư(4) $\rightarrow$

d3 $\epsilon$ {$\pm 1,\pm 2,\pm 4,$} $\rightarrow$ d3 = $\pm 1$$\rightarrow$ d =$\pm 1$

Với d = 1 ta có 2y13 - x13 = 4 $\rightarrow$ x13 = 2y13 -  4 = 2(y13 - 2) $\vdots$ 2 $\rightarrow$ x1 $\vdots$ 2 ​ $\rightarrow$ x1= 2x2 Từ đó 2y13 - x13 = 4 $\rightarrow$ ​ 2y13 - 8x23 = 4  $\rightarrow$ y13 - 4x23 = 2  $\rightarrow$ y13 $\vdots$ 2 $\rightarrow$ y1 $\vdots$ 2 ​ $\rightarrow$ y1=2y2 $\rightarrow$  (x1,y1) = 2(x2,y2) =1 mâu thuẫn

Với d = -1 cmtt ta cũng dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy pt đã cho ko có nghiệm nguyên







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh