Chủ đề này có 2 trả lời

[Aisha0303]

Giải phương trình nghiệm nguyên : 

$1+\sqrt{x+y+3} =\sqrt{x} +\sqrt{y}$

[Dark Repulsor]

ĐK:  $x,y\in \mathbb{N}$

Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{xy} \Rightarrow x,y\geq 2$  (vì nếu có số nào bằng $1$ thì VT $>$ VP)

Giả sử $x=y$.  Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{2x+3}=x \Rightarrow x^{2}-6x+1=0$  (ko có nghiệm nguyên)

Xét $x\neq y$. Vì vai trò của $x,y$ như nhau nên ko giảm tính tổng quát, giả sử $x>y$

$y=2$:  Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{x+5}=\sqrt{2x} \Leftrightarrow 4\sqrt{x+5}=x-9 \Rightarrow x^{2}-34x+1=0$  (ko có nghiệm nguyên)

$y=3$:  Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{x+6}=\sqrt{3x} \Leftrightarrow 2\sqrt{x+6}=x-5 \Rightarrow 4x^{2}-24x+1=0$  (ko có nghiệm nguyên)

Xét $x>y>3$:  Pt $\Leftrightarrow xy+1-x-y=4\sqrt{xy}<2(x+y) \Rightarrow (y-3)^{2}<(x-3)(y-3)<8 \Rightarrow y\in$ {$4;5$}

$y=4$:  Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{x+7}=2\sqrt{x} \Leftrightarrow 4\sqrt{x+7}=3x-11 \Rightarrow 9x^{2}-82x+9=0 \Rightarrow x=9$. Thử lại thấy đúng

$y=5$:  Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{x+8}=\sqrt{5x} \Leftrightarrow \sqrt{x+8}=x-3 \Rightarrow x^{2}-7x+1=0$  (ko có nghiệm nguyên)

Kết luận: Có $2$ cặp nghiệm $(x;y)$ là $(4;9)$ và $(9;4)$

[Baoriven]

Nhận xét ngay, $x,y$ là các số chính phương.

Đặt $a=\sqrt{x},b=\sqrt{y}$.

Khi đó, $1+\sqrt{a^2+b^2+3}=a+b$. Đặt $S=a+b,P=ab$.

Suy ra: $1+\sqrt{S^2-2P+3}=S\Rightarrow P=S+1$.

Nên $(a-1)(b-1)=2$ tới đây đơn giản

Vậy $(a,b)=(2,3),(3,2)$ hay $(x,y)=(4,9),(9,4)$.