Đến nội dung

Hình ảnh

\[a^{2}+ b^{2}= 1\Rightarrow\sqrt{\frac{5}{4}- a}+ \sqrt{5- 4b}\geq\frac{\sqrt{17}}{2}\]

@ji123

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Chứng minh với $a^{2}+ b^{2}= 1$ có được

$$\sqrt{\frac{5}{4}- a}+ \sqrt{5- 4b}\geq\frac{\sqrt{17}}{2}$$



#2
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
Bất đẳng thức trên tương đương với:
$\Leftrightarrow (\sqrt{5-4a}+2\sqrt{5-4b})^2\geq 17$
$\Leftrightarrow (5-4a)+4(5-4b)+4\sqrt{25-20(a+b)+16ab}\geq 17$
$\Leftrightarrow \sqrt{25-20(a+b)+16ab}\geq a+4b-2$
$\Leftrightarrow 25-20(a+b)+16ab\geq (a+4b-2)^2$
$\Leftrightarrow a^2+16b^2-8ab+16a+4b\geq 21$
$\Leftrightarrow (a-4b)^2+4(4a+b)\leq 21$
Lại có: $a^2+b^2=1\Rightarrow 17a^2+17b^2=17\Rightarrow (a-4b)^2+(4a+b)^2=17$
$\Rightarrow -(4a+b)^2+4(4a+b)\leq 4\Leftrightarrow (4a+b-2)^2\geq 0$ (luôn đúng).

 

Nguồn: AoPS :>



#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

XTension. Chứng minh với $25a^{2}+ 16b^{2}+ 9c^{2}= 25$ và $b\geq c$ có được

$$\sqrt{5- 4a}+ \sqrt{5- 4b}+ \sqrt{5- 4c}\geq\sqrt{17}$$



#4
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Ở dấu tương đương thứ $3$ hình như không đúng lắm vì $a+4b-2$ chưa chắc dương.

Thử $a<0$ và $b=-\sqrt{1-a^2}$ thì không bình phương hai về được. ?


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#5
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Ở dấu tương đương thứ $3$ hình như không đúng lắm vì $a+4b-2$ chưa chắc dương.

Thử $a<0$ và $b=-\sqrt{1-a^2}$ thì không bình phương hai về được. ?

Em nghĩ nếu $a+4b-2<0$ thì bất đẳng thức đúng do $VT\geq 0>VP$.



#6
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết
Nhưng mà muốn bình phương 2 vế bất đẳng thức phải không âm chứ em?
Ví dụ 3>-5 thì ý em sao?
  • DBS yêu thích

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Chứng minh với $a^{2}+ b^{2}= 1$ có được

$$\sqrt{\frac{5}{4}- a}+ \sqrt{5- 4b}\geq\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Mặc dù anh chưa giải ra nhưng có vẻ có một cách hình học :) Chúng ta biến đổi như sau:

\[\begin{array}{l}
A = \sqrt {\frac{5}{4} - a}  + \sqrt {5 - 4b} \\
 = \sqrt {\frac{{4{a^2} + 4{b^2} + 1}}{4} - a}  + \sqrt {4{a^2} + 4{b^2} + 1 - 4b} \\
 = \sqrt {{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {b^2}}  + 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - \frac{1}{2}} \right)}^2}}
\end{array}\]

Đặt $M\left( {a;b} \right);N\left( {\frac{1}{2};0} \right);P\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$ thì

\[A = MN + 2MP\]

Với $M$ là một điểm di động trên đường đơn vị $(C): x^2 + y^2 = 1$. Có điều tới đây thì... bí :(

MN+2MP.png


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#8
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Ở dấu tương đương thứ $3$ hình như không đúng lắm vì $a+4b-2$ chưa chắc dương.

Thử $a<0$ và $b=-\sqrt{1-a^2}$ thì không bình phương hai về được. ?

Em vừa dùng Wolfram để giải hệ bất phương trình: $\begin{cases} a^2+b^2=1 \\ a+4b-2<0 \end{cases}$ thì chỉ có một trường hợp $x=0$ và $y=-1$ thoả mãn, nhưng trong trường hợp này BĐT trên luôn đúng.

 

Chị có thể tham khảo tại link này.



#9
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

:) Chắc em chưa biết xài Wolfram rồi em. 

$a=-1,b=0$ và ngược lại là các biên và Wolfram ghi rõ đó là integer solution.

Chúng ta có thể thấy ngay chọn $a,b<0$ và $a^2+b^2=1$ thì hiển nhiên $a+4b-2<0$ mà không cần dùng công cụ gì cả.

 

P/S: Cách giải biến đổi tương đương đối với PT, HPT hay BPT đều phải cần thận trong quá trình bình phương hoặc lấy căn.

Cách giải của bạn DBS chỉ đúng khi $a+4b-2$ thay bằng $|a+4b-2|$.

 

Và wolfram chỉ là 1 công cụ để tham khảo :) có thể nói là wolfram giải rất tốt các bài PT HPT nhưng BPT là 1 khía cạnh cần phải xem xét lại. 


  • DBS yêu thích

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#10
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Chúng ta có thể thấy ngay chọn $a,b<0$ và $a^2+b^2=1$ thì hiển nhiên $a+4b-2<0$ mà không cần dùng công cụ gì cả.

Nếu thế thì em nghĩ với mọi $a,b<0$ thì BĐT trên luôn đúng
Sau đó xét TH $a,b\geq 0$ rồi làm tương tự như trên kia :3







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: @ji123

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh