Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm lỗi sai trong chứng minh Tiên đề Euclid ?

chứng minh định lí

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Ho Thi Thanh Truc

Ho Thi Thanh Truc

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 22-07-2021 - 18:06

Mình thấy có một chứng minh Tiên đề Euclid nhờ mọi người xem và chỉ cho mình thấy lỗi sai trong chứng minh này với:

 

                                          ĐỊNH LÍ EUCLID 

                                         

Định lí Euclid: Cho điểm M ở ngoài đường thẳng a. Đường thẳng đi qua M và song song với a là duy nhất (Tiên đề Euclid)

 

Chứng minh:

Giả sử qua M có hai đường thẳng b và c cùng song song với a.

Đường thẳng b chia mặt phẳng thành 2 phần là nửa mặt phẳng (I) và nửa mặt phẳng (II). Vì b//a nên đường thẳng a phải nằm trong một nửa mặt phẳng nào đó có bờ là b. Giả sử a ⸦ nmp (I) .Tương tự  c chia mặt phẳng thành 2 phần là nửa mặt phẳng (III) và nửa mặt phẳng (IV) do c//a nên a ⸦ nmp (III)

Vậy đường  thẳng  a  phải  nằm  trong  phần  chung  của  hai nửa mặt phẳng (I) và (III)

Từ đó a nằm trong góc xMy với Mx ⸦ b, My ⸦ c do hai đường thẳng b,c  cắt nhau tại M tạo ra. (xMy  = nmp(I)∩nmp(III)

    Lấy một điểm N bất kì thuộc a. Do a nằm trong góc xMy nên điểm N cũng nằm trong góc xMy. Khi đó rõ ràng điểm N sẽ nằm trên một miền nào đó của góc xMy. Do đó phải có một miền tam giác MPS nào đó của góc xMy chứa điểm N với P nằm trên Mx, S nằm trên My và P ≠ M ≠ S.

Với điểm N nằm trong miền tam giác MPS ( với P ϵ Mx, S ϵ My, P ≠ M ≠ S ) của góc xMy khi đó N sẽ nằm trong góc MPS nên tia PN sẽ nằm giữa hai tia PM và PS do đó tia PN sẽ cắt đoạn thẳng MS tại Q nằm giữa M và S. Lúc này ta có N nằm giữa P và Q (vì tia MN nằm giữa hai tia MP và MQ) với P  ϵ Mx, Q ϵ My, P ≠ M ≠ Q.

Đường thẳng a đi qua điểm N nằm giữa P và Q (chú ý đường thẳng PQ ≠ a) nên  P và Q sẽ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có chung bờ a. Hay P nằm tronq nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng bờ a chứa Q

P ϵ Mx ⸦ b → P ϵ b và M ϵ b nên P, M và b cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a do đó P, M, b cùng nằm  tronq  nửa  mặt phẳng  đối  của  nửa  mặt  phẳng  bờ a chứa Q.

Vì M và Q nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có chung bờ a. Nên đường thẳng MQ sẽ luôn cắt a tại một điểm I nào đó.

Do M ϵ c, Q ϵ c (vì Q ϵ My ⸦ c) nên c ≡ MQ hay ta có c cắt a tại I dẫn đến mâu thuẫn với c//a. Vậy điều giả sử là không đúng. Có nghĩa là qua M không thể có hai đường thẳng b và c cùng song song với a. Hay nói cách khác chỉ có một đường thẳng đi qua M và song song với a.

Định lí Euclid đã được chứng minh.

 

Hình gửi kèm

  • dcb.png

File gửi kèm



#2 youknower

youknower

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 22-07-2021 - 20:28

Tiên đề Euclid được xây dựng trên mặt phẳng, sau đó 1 số hệ quả được phát triển lên không gian 3 chiều. 

Bạn đang lấy cái có sau để chứng minh bật tiền bói thì hiển nhiên là đúng rồi 



#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4278 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 22-07-2021 - 20:33

Thứ nhất, cái tiên đề Euclid mà bạn dùng không phải là phát biểu gốc của tiên đề Euclid. Phát biểu gốc như sau:

If a line segment intersects two straight lines forming two interior angles on the same side that sum to less than two right angles, then the two lines, if extended indefinitely, meet on that side on which the angles sum to less than two right angles.

https://en.wikipedia...allel_postulate

Nôm na là: nếu một đường thẳng cắt 2 đường thẳng cho trước tạo thành hai góc trong cùng một mặt có tổng nhỏ hơn hai góc vuông, thì hai đường thẳng trên nếu kéo dài vô tận sẽ gặp tại một điểm cùng phía và tạo ra góc nhỏ hơn hai góc vuông.

Phát biểu bạn sử dụng chỉ là một phát biểu tương đương do Playfair đề xuất. Gọi là tương đương nhưng không nhất thiết hai thứ này luôn tương đương, vì có những hình học khác mà một cái đúng, một cái sai.

Hơn nữa là sự tồn tại của những hình học phi Euclid. https://en.wikipedia...lidean_geometry

Những hình học này không sử dụng tiên đề thứ 5 của Euclid hay tiên đề Playfair gì cả.

Nội chừng này đã gián tiếp đủ để thấy chứng minh của bạn có lỗi ngộ nhận.

==============================

Thứ hai, quay lại trực tiếp với chứng minh của bạn. Trong 5 tiên đề của Euclid, chỉ có tiên đề thứ 5 nói về việc hai đường thẳng cắt nhau. Các tiên đề còn lại là:

1. Giữa hai điểm bất kì chỉ tồn tại duy nhất một đường thẳng.

2. Một đường thẳng bất kỳ có thể kéo dài liên tục về hai phía.

3. Có thể dựng một đường tròn nếu biết trước tâm và bán kính.

4. Mọi góc vuông đều bằng nhau.

Vì vậy, có thể thấy là nhận định sau của bạn là ngộ nhận.

 

Do đó tia PN sẽ cắt đoạn thẳng MS tại Q nằm giữa M và S

Tại sao tia $PN$ cắt $MS$? Bởi vì nếu không cắt thì nó sẽ vi phạm tiên đề thứ 5.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: chứng minh định lí

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh