Đến nội dung


Hình ảnh

$a<u_{n}<b; a<v_{n}<b; u_{n}>v_{n}\forall n\in \mathbb{N}: \lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }v_{n}=x$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Lemonjuice

Lemonjuice

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 22-07-2021 - 18:58

Cho a và b là 2 số thực khác nhau (b>a; a và b cố định và cho trước). Cho x là một số hữu tỉ sao cho b>x>a (x cố định và cho trước). Chứng minh rằng luôn tồn tại hai dãy số hữu tỉ $u_{n}$ và $v_{n}$ sao cho $a<u_{n}<b$ và $a<v_{n}<b$ với mọi n; $u_{n}>v_{n}\forall n\in \mathbb{N}$ và $\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }v_{n}=x$.



#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4279 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 22-07-2021 - 19:34

Cái này là hiển nhiên mà nhỉ? Đầu tiên cần để ý rằng dãy $w_n = \frac{1}{2^n} \rightarrow 0$.

Ta chỉ cần làm với $(u_n)$, còn $(v_n)$ tương tự.

Đầu tiên chọn một số hữu tỷ $u_0$ trên khoảng $(x;b)$. Do tính trù mật của $\mathbb{Q}$ trên $\mathbb{R}$ nên điều này luôn luôn khả thi.

Tiếp theo đặt $u_n= x + w_n (u_0-x)$.

Dễ kiểm chứng là $u_n \in \mathbb{Q} \forall n$ và $u_n \rightarrow x$.

 

Thực ra có thể chứng minh là điều này đúng với mọi $x$ không nhất thiết hữu tỷ.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh