Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh X, Y, Z, T đồng viên

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
Cho tam giác $ABC$ và đường tròn $(K)$ bất kì đi qua $B, C$ cắt $AC$, $AB$ tại $E, F$. $BE$ cắt $CF$ tại $H$. $L$ là điểm liên hợp đẳng giác với $H$ trong tam giác $ABC$. $CL, BL$ cắt $BH, CH$ tại $X, Y$. $AX, AY$ cắt $CH, BH$ tại $Z, T$. Chứng minh rằng: $X, Y, Z, T$ cùng thuộc một đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng $AK$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 23-07-2021 - 21:45


#2
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Bài này chỉ cần điểm $L$ thỏa mãn $AH,AL$ đẳng giác trong $\angle BAC$ là được

Bổ đề:  Cho $\Delta ABC$. $P,Q$ là $2$ điểm thỏa mãn $AP,AQ$ đẳng giác trong góc $A$. $BP$ cắt $CQ$ tại $X$, $BQ$ cắt $CP$ tại $Y$. Khi đó $AX,AY$ cũng đẳng giác trong góc $A$

CM:  $CX$ cắt $AB$ tại $N$, $CY$ cắt $AB$ tại $M$. Ta có: $(CPYM)=B(CPYM)=B(CXQN)=(CXQN) \Rightarrow A(CPYM)=A(CXQN)$

Gọi giao điểm của $AP,AQ,AX,AY$ với $BC$ rồi áp dụng định lý Steiner kết hợp với $AP,AQ$ đẳng giác trong góc $A$ suy ra đpcm

Trở lại bt:

Áp dụng bổ đề cho $\Delta ABC$ với $2$ đường đẳng giác $AH,AL$ ta có $AX,AY$ là $2$ đường đẳng giác trong $\Delta  ABC$. Từ đó ta có biến đổi góc:

$(XZ;XT)\equiv (XB;XA)\equiv (XB;AB)+(AB;XA)\equiv (CA;CY)+(AY;CA)\equiv (YA;YC)\equiv (YZ;YT)$  (mod $\pi$) $\Rightarrow 4$ điểm $X,Y,Z,T$ đồng viên; ký hiệu là đường tròn $(I)$. Đến đây xét $2$ TH:

TH$1$: $\Delta ABC$ cân tại $A$ $\Rightarrow XY\parallel ZT\parallel EF\parallel BC \Rightarrow \overline{A,I,K}$ là đường trung trực của $BC$ (đpcm)

TH$2$: $\Delta ABC$ ko cân tại $A$. Khi đó $EF$ cắt $BC$ tại $D$, $XY$ cắt $ZT$ tại $G$, $DH$ cắt $AB$ tại $M$, $GH$ cắt $AX$ tại $N$, $HM$ cắt $AX$ tại $N'$

Ta có hàng điều hòa cơ bản: $(AM,FB)=-1 \Rightarrow H(AM,FB)=-1 \Rightarrow H(AN',ZX)=-1 \Rightarrow (AN',ZX)=-1$

Mà ta lại có hàng điều hòa cơ bản: $(AN,ZX)=-1$ nên $N\equiv N'$ hay $\overline{D,G,H}$

Áp dụng định lý Brocard cho $2$ đường tròn $(K)$ và $(I)$ ta có $K$ là trực tâm của $\Delta ADH$ và $I$ là trực tâm của $\Delta AGH$ $\Rightarrow DH\perp AK$ và $GH\perp AI$. Từ đó suy ra $\overline{A,I,K}$ (đpcm) 

 

 

Hình gửi kèm

  • X,Y,Z,T đồng viên.png





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh