Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 23-07-2021 - 21:45
Chứng minh X, Y, Z, T đồng viên
#1
Đã gửi 23-07-2021 - 21:40
- DaiphongLT và Hoang72 thích
#2
Đã gửi 24-07-2021 - 12:21
Bài này chỉ cần điểm $L$ thỏa mãn $AH,AL$ đẳng giác trong $\angle BAC$ là được
Bổ đề: Cho $\Delta ABC$. $P,Q$ là $2$ điểm thỏa mãn $AP,AQ$ đẳng giác trong góc $A$. $BP$ cắt $CQ$ tại $X$, $BQ$ cắt $CP$ tại $Y$. Khi đó $AX,AY$ cũng đẳng giác trong góc $A$
CM: $CX$ cắt $AB$ tại $N$, $CY$ cắt $AB$ tại $M$. Ta có: $(CPYM)=B(CPYM)=B(CXQN)=(CXQN) \Rightarrow A(CPYM)=A(CXQN)$
Gọi giao điểm của $AP,AQ,AX,AY$ với $BC$ rồi áp dụng định lý Steiner kết hợp với $AP,AQ$ đẳng giác trong góc $A$ suy ra đpcm
Trở lại bt:
Áp dụng bổ đề cho $\Delta ABC$ với $2$ đường đẳng giác $AH,AL$ ta có $AX,AY$ là $2$ đường đẳng giác trong $\Delta ABC$. Từ đó ta có biến đổi góc:
$(XZ;XT)\equiv (XB;XA)\equiv (XB;AB)+(AB;XA)\equiv (CA;CY)+(AY;CA)\equiv (YA;YC)\equiv (YZ;YT)$ (mod $\pi$) $\Rightarrow 4$ điểm $X,Y,Z,T$ đồng viên; ký hiệu là đường tròn $(I)$. Đến đây xét $2$ TH:
TH$1$: $\Delta ABC$ cân tại $A$ $\Rightarrow XY\parallel ZT\parallel EF\parallel BC \Rightarrow \overline{A,I,K}$ là đường trung trực của $BC$ (đpcm)
TH$2$: $\Delta ABC$ ko cân tại $A$. Khi đó $EF$ cắt $BC$ tại $D$, $XY$ cắt $ZT$ tại $G$, $DH$ cắt $AB$ tại $M$, $GH$ cắt $AX$ tại $N$, $HM$ cắt $AX$ tại $N'$
Ta có hàng điều hòa cơ bản: $(AM,FB)=-1 \Rightarrow H(AM,FB)=-1 \Rightarrow H(AN',ZX)=-1 \Rightarrow (AN',ZX)=-1$
Mà ta lại có hàng điều hòa cơ bản: $(AN,ZX)=-1$ nên $N\equiv N'$ hay $\overline{D,G,H}$
Áp dụng định lý Brocard cho $2$ đường tròn $(K)$ và $(I)$ ta có $K$ là trực tâm của $\Delta ADH$ và $I$ là trực tâm của $\Delta AGH$ $\Rightarrow DH\perp AK$ và $GH\perp AI$. Từ đó suy ra $\overline{A,I,K}$ (đpcm)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh