Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $M, N, P, K$ đồng viên

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $d$ là một đt bất kì cắt $AC, AB$ lần lượt tại $E, F$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BE, CF, EF$; $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $EF$. Cm $M, N, P, K$ đồng viên.



#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $d$ là một đt bất kì cắt $AC, AB$ lần lượt tại $E, F$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BE, CF, EF$; $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $EF$. Cm $M, N, P, K$ đồng viên.

Gợi ý: $(AEF)$ cắt $(O)$ tại $S$. Kẻ dây $ST$ của $(O)$ song song với $EF$. $TB,TC$ cắt $EF$ lần lượt tại $U,V$.  Chứng minh $KE=KU,KF=KV$.



#3
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Gọi $D,I,J$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB \Rightarrow \overline{D,M,J}$ và $\overline{D,N,I}$. $DI$ cắt lại đường tròn $(OE)$ tại $U$, $DJ$ cắt lại đường tròn $(OF)$ tại $V$

$(UN;UK)\equiv (UI;UK)\equiv (EI;EP)\equiv (PN;PK)$  (mod $\pi$) $\Rightarrow 4$ điểm $N,U,K,P$ đồng viên          $(1)$

$OJ$ cắt lại đường tròn $(OE)$ tại $X \Rightarrow \left(EX\parallel AJ\parallel MP\right)\perp XJ$. Mà $MP$ đi qua trung điểm của $AE$ nên $MP$ là đường trung trực của $XJ$ hay $MX=MJ$

$(XM;XJ)\equiv (JO;JD)\equiv (ID;IO)\equiv (XU;XO)$  (mod $\pi$) $\Rightarrow \overline{U,X,M}$. Tương tự gọi $OI$ cắt lại đường tròn $(OF)$ tại $Y$ thì $\overline{V,Y,N}$

$(UM;UN)\equiv (UX;UI)\equiv (EX;EI)\equiv (PM;PN)$  (mod $\pi$) ; $(VM;VN)\equiv (VJ;VY)\equiv (FJ;FY)\equiv (PM;PN)$  (mod $\pi$)

Suy ra $5$ điểm $M,N,P,U,V$ đồng viên          $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra đpcm

Hình gửi kèm

  • M,N,P,K đồng viên.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 26-07-2021 - 23:57





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh