Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $d$ là một đt bất kì cắt $AC, AB$ lần lượt tại $E, F$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BE, CF, EF$; $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $EF$. Cm $M, N, P, K$ đồng viên.
Chứng minh $M, N, P, K$ đồng viên
#1
Đã gửi 25-07-2021 - 10:01
#2
Đã gửi 26-07-2021 - 08:25
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $d$ là một đt bất kì cắt $AC, AB$ lần lượt tại $E, F$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BE, CF, EF$; $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $EF$. Cm $M, N, P, K$ đồng viên.
Gợi ý: $(AEF)$ cắt $(O)$ tại $S$. Kẻ dây $ST$ của $(O)$ song song với $EF$. $TB,TC$ cắt $EF$ lần lượt tại $U,V$. Chứng minh $KE=KU,KF=KV$.
- Serine yêu thích
#3
Đã gửi 26-07-2021 - 23:53
Gọi $D,I,J$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB \Rightarrow \overline{D,M,J}$ và $\overline{D,N,I}$. $DI$ cắt lại đường tròn $(OE)$ tại $U$, $DJ$ cắt lại đường tròn $(OF)$ tại $V$
$(UN;UK)\equiv (UI;UK)\equiv (EI;EP)\equiv (PN;PK)$ (mod $\pi$) $\Rightarrow 4$ điểm $N,U,K,P$ đồng viên $(1)$
$OJ$ cắt lại đường tròn $(OE)$ tại $X \Rightarrow \left(EX\parallel AJ\parallel MP\right)\perp XJ$. Mà $MP$ đi qua trung điểm của $AE$ nên $MP$ là đường trung trực của $XJ$ hay $MX=MJ$
$(XM;XJ)\equiv (JO;JD)\equiv (ID;IO)\equiv (XU;XO)$ (mod $\pi$) $\Rightarrow \overline{U,X,M}$. Tương tự gọi $OI$ cắt lại đường tròn $(OF)$ tại $Y$ thì $\overline{V,Y,N}$
$(UM;UN)\equiv (UX;UI)\equiv (EX;EI)\equiv (PM;PN)$ (mod $\pi$) ; $(VM;VN)\equiv (VJ;VY)\equiv (FJ;FY)\equiv (PM;PN)$ (mod $\pi$)
Suy ra $5$ điểm $M,N,P,U,V$ đồng viên $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 26-07-2021 - 23:57
- Serine yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh