Cmr pt Đi-ô-phăng :
4x3 + 1 = y4
chỉ có hai nghiệm nguyên (x;y) đó là : (0;-1) và (0;1)
#2
Đã gửi 31-07-2021 - 18:11
Nguyen Huyen Dieu
-
- Thành viên mới
-
- 22 Bài viết
Binh nhất
Giải
4x3 + 1 = y4 Đặt z = y2 ta có pt 4x3 + 1 = z2 <=> 4x3 = z2- 1 = (z+1)(z-1) Mà (z+1,z-1) = (z+1,(z+1)-(z-1)) = (z+1,2) = Ư(2)
=> (z+1,z-1) = 1 hoặc (z+1,z-1) = 2
Nếu (z+1,z-1) = 1 thì 4x3 = (z+1)(z-1) -> z+1 = 4m3, z-1= n3 -> 4m3 - n3 = (z+1)-(z-1) = 2 -> 4m3 - n3 = 2 -> n chia hết cho 2 -> n = 2n1 -> 4m3 - 8n13 = 2 -> 2m3 - 4n13 = 1 -> 2(m3 - 2n13) =1 vô lí nên phuong trình 4m3 - n3 = 2 ko có nghiệm nguyên
Nếu (z+1,z-1) = 2 thì 4x3 = (z+1)(z-1) -> z+1 = 2m3, z-1= 2n3 -> 2m3 - 2n3 = (z+1)-(z-1) = 2 -> 2m3 - 2n3 = 2 -> m3 = n3 + 1 -> n3 < m3 < (n+1)3
-> m = n +1 <-> n = -1;0
-> n = -1, m = 0 -> 4x3 = 4m3n3 = 0 -> x = 0 -> z2 =1 -> z = 1; -1 Khi z = 1 -> y2 = 1 -> y = 1;-1 khi z = -1 ta loại do z2 > 0 Vậy (0;1) và (0;-1) là các nghiệm của pt
-> n = 0, m = 1 -> 4x3 = 4m3n3 = 0 -> x = 0 -> tương tự trên ta có y = 1;-1
Tóm lại pt có hai cặp nghiệm: (0;1) và (0;-1)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huyen Dieu: 31-07-2021 - 18:34
- Hoang72 yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phuong trình nghiem nguyen
 
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
4x - 10y = 15xy - 3Bắt đầu bởi thuvitoanhoc, 11-08-2021  phuong trình nghiem nguyen
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$4x^{4}= 5y^{3}+6$Bắt đầu bởi thuvitoanhoc, 01-08-2021 phuong trình nghiem nguyen
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$9x^{3}=4(y^{2}+3)$Bắt đầu bởi Nguyen Huyen Dieu, 01-08-2021 phuong trình nghiem nguyen
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^{2}+y=xy^{2}$Bắt đầu bởi thuvitoanhoc, 21-07-2021 phuong trình nghiem nguyen
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
