Chủ đề này có 5 trả lời

[Dang Hong Ngoc]

Cho hình vuông tâm $O$ kích thước $9\times9$ được tạo thành từ $81$ ô vuông đơn vị. Hai ô vuông đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có một cạnh chung. Một con bọ ban đầu ở tâm $O$. Mỗi lần di chuyển con bọ sẽ nhảy từ tâm của ô vuông đơn vị đang đứng sang tâm của ô vuông đơn vị kề bên. Tính xác suất để bọ quay trở về tâm $O$ ban đầu sau $4$ bước nhảy ngẫu nhiên.

[Nobodyv3]

Cho hình vuông tâm $O$ kích thước $9\times9$ được tạo thành từ $81$ ô vuông đơn vị. Hai ô vuông đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có một cạnh chung. Một con bọ ban đầu ở tâm $O$. Mỗi lần di chuyển con bọ sẽ nhảy từ tâm của ô vuông đơn vị đang đứng sang tâm của ô vuông đơn vị kề bên. Tính xác suất để bọ quay trở về tâm $O$ ban đầu sau $4$ bước nhảy ngẫu nhiên.

Ký hiệu U, D, L, R lần lượt là bước nhảy lên, xuống, trái, phải của con bọ.
Theo đề bài, con bọ có thể có các "mẫu "(tạm gọi như thế vì mình chưa nghĩ ra tên gọi) sau:
a/ 1U, 1D, 1L, 1R: có $4!=24$ cách nhảy.
b/ 2U, 2D: có $\frac{4!}{2!2!}=6$ cách nhảy
c/ 2L, 2 R: có $\frac{4!}{2!2!}=6$ cách nhảy
Số phần tử không gian mẫu :
$ \Omega= \left \{U, D, L, R \right \} ^4\Rightarrow
\left | \Omega \right |= 4^4 $
XS cần tìm :
$\frac {24+6+6}{256}=\boxed {\frac {9}{64}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 01-08-2021 - 08:51

[perfectstrong]

Dễ thấy rằng những bước nhảy $L;R$ sẽ không thay đổi tung độ, nên để con bọ quay về vị trí ban đầu thì số bước $U$ phải bằng số bước $D$.

Tương tự, số bước $L$ bằng số bước $R$.

Nếu tổng quát lên $n$ bước nhảy thì bài toán quy về đếm có bao bộ nghiệm nguyên không âm $(u;d;l;r)$ sao cho $u+d+l+r=n$ và $u=d; l=r$

[perfectstrong]

Dễ thấy rằng những bước nhảy $L;R$ sẽ không thay đổi tung độ, nên để con bọ quay về vị trí ban đầu thì số bước $U$ phải bằng số bước $D$.

Tương tự, số bước $L$ bằng số bước $R$.

Nếu tổng quát lên $n$ bước nhảy thì bài toán quy về đếm có bao bộ nghiệm nguyên không âm $(u;d;l;r)$ sao cho $u+d+l+r=n$ và $u=d; l=r$

Giải trọn vẹn luôn thì như sau

Với nhận xét trên, ta có:

\[u + d + l + r = n = 2u + 2l\]

Do đó, $n$ phải là số chẵn. Đặt $n=2m \Rightarrow u+l = m$. Bây giờ với mỗi bộ nghiệm nguyên không âm $(u;l)$, ta có số cách nhảy hợp lệ của con bọ là:

\[\frac{{n!}}{{u!d!l!r!}} = \frac{{\left( {2m} \right)!}}{{u{!^2}l{!^2}}}\]

Vậy tổng số số cách nhảy để về vị trí ban đầu sẽ là:

$$\begin{align*} {S_{2m}} & = \sum\limits_{u = 0}^m {\frac{{\left( {2m} \right)!}}{{u{!^2}\left( {m - u} \right){!^2}}}} \\ & = \sum\limits_{u = 0}^m {\frac{{\left( {2m} \right)!}}{{m{!^2}}}{{\left( {\frac{{m!}}{{u!\left( {m - u} \right)!}}} \right)}^2}}  \\ & = C_{2m}^m\sum\limits_{u = 0}^m {{{\left( {C_m^u} \right)}^2}} \\ &  = {\left( {C_{2m}^m} \right)^2} \end{align*}$$

Đẳng thức ở cuối là dựa trên kết quả nổi tiếng này: $\sum_{k=0}^{n}\left ( C_{n}^{k} \right )^2=C_{2n}^{n}$ (bạn xem qua một post mới đây về cách chứng minh: https://diendantoanh...-chứng-minh-mn/ )

Vậy thì xác suất để con bọ trở về đỉnh gốc $O$ là: \[{P_{2m}} = \frac{{{S_{2m}}}}{{{4^{2m}}}} = \frac{{{{\left( {C_{2m}^m} \right)}^2}}}{{{4^{2m}}}}\]

 

Thử $m=2 (n=4)$ thì thấy khớp nè

[Dang Hong Ngoc]

Do đó, $n$ phải là số chẵn. Đặt $n=2m \Rightarrow u+l = m$. Bây giờ với mỗi bộ nghiệm nguyên không âm $(u;l)$, ta có số cách nhảy hợp lệ của con bọ là:

\[\frac{{n!}}{{u!u!l!l!}} = \frac{{\left( {2m} \right)!}}{{u{!^2}l{!^2}}}\]

Sao $u,l$ bị trùng đến 2 lần vậy anh 

[perfectstrong]

Sao $u,l$ bị trùng đến 2 lần vậy anh 

Đúng ra là $u!d!l!r!$ nhưng $u=d$ và $l=r$ rồi bạn