Chủ đề này có 6 trả lời

[youknower]

Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định, trong đó, $BC$ là dây cung cố định. $A$ di động trên $(O). AD, BE, CF$ là 3 đường cao của tam giác $ABC. AD$ cắt $(O)$ tại điểm $P$ khác $A, EF$ cắt $BC$ tại $Q$.

Chứng minh tâm đường tròn $(APQ)$ thuộc 1 đường cố định khi $A$ thay đổi trên $(O)$

[Hoang72]

Gọi M là trung điểm của BC. Do (QD, BC) = -1 nên theo hệ thức Maclaurin, ta có DM . DQ = DB . DC = DA . DP suy ra A, Q, P, M đồng viên.

Từ đó (APQ) đi qua M cố định.

[youknower]

Vậy còn điểm cố định thứ 2 là điểm nào vậy bạn. Bạn mới giải 50% thôi

[Dark Repulsor]

Do đường nối tâm $2$ đường tròn vuông góc với trục đẳng phương của chúng nên nếu ta gọi $K$ là tâm của $(APQ)$ thì $OK\perp AP$. Mà $AP\parallel OM$ với $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $OK\perp OM$ hay tâm của $(APQ)$ thuộc đường thẳng qua $O$ vuông góc với $OM$ cố định. Từ đó ta có thể thấy vai trò của $4$ điểm $D,E,F,Q$ trong đề bài là ko cần thiết

[Serine]

$L$ là trung điểm $BC, L'$ đối xứng $L$ qua $O$

Chứng minh đc $AQPL$ nội tiếp

Có $L'$ đối xứng $L$ qua trung trực $LL', A$ đx $P$ qua trung trực $LL'$

$\Rightarrow AL'LP$ là hình thân cân $\Rightarrow AL'LP$ nội tiếp

Nghĩa là tâm $J$ của $(AQB)$ thuộc trung trực $LL'$

Có $LL'$ cố định đc đpcm

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 30-07-2021 - 10:31

[youknower]

Do đường nối tâm $2$ đường tròn vuông góc với trục đẳng phương của chúng nên nếu ta gọi $K$ là tâm của $(APQ)$ thì $OK\perp AP$. Mà $AP\parallel OM$ với $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $OK\perp OM$ hay tâm của $(APQ)$ thuộc đường thẳng qua $O$ vuông góc với $OM$ cố định. Từ đó ta có thể thấy vai trò của $4$ điểm $D,E,F,Q$ trong đề bài là ko cần thiếếu

Mở rộng 1 tí

Nếu như thay giả thiết bằng

Gọi $(I)$ là đường tròn cố định đi qua $B,C$. $(I)$ cắt $AC, AB$ tại $E, F. BE$ cắt $CF$ tại $H, AH$ cắt $(O)$ tại $P. EF$ cắt $BC$ tại $Q.$

Thì tâm $(APQ)$ có còn thuộc 1 đường cố định không ?

[Serine]

Mở rộng 1 tí

Nếu như thay giả thiết bằng

Gọi $(I)$ là đường tròn cố định đi qua $B,C$. $(I)$ cắt $AC, AB$ tại $E, F. BE$ cắt $CF$ tại $H, AH$ cắt $(O)$ tại $P. EF$ cắt $BC$ tại $Q.$

Thì tâm $(APQ)$ có còn thuộc 1 đường cố định không ?

Cmđ $AQPM$ nội tiếp

$Q'$ đối xứng $Q$ qua tâm $J\equiv$ tâm $(APQ)$

Có $MJ$ đi qua trung điểm $QQ' \Rightarrow \widehat{QMQ'}=90$

Tương tự $\widehat{QAQ'}=90$ nên $AQPQ'$ nội tiếp $\Rightarrow AQLQ'$ nội tiếp

Có $OJ \perp AP$ do $AP$ là tđp của $(O)$ và $(J)$

$QF\perp AP$ theo Brocard trong tgtp $EFBC.AQ$

suy ra $OJ//QF \Rightarrow Q'$ đx $F$ qua $O \Rightarrow Q'$ cố định

tâm $(AQP)$ nằm trên trung trục $Q'M$ nên ẻm cũng cố định

Hình gửi kèm

•