Có bao nhiêu bao tam giác không cân có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá $2014$?
Có bao nhiêu bao tam giác không cân có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá $2014$?
Xét bài toán tổng quát: Có bao nhiêu tam giác có độ dài ba cạnh thuộc tập $S=\{1;2;3;\ldots;n\}$ với $n\ge1,n\in\mathbb{N}.$
Có bao nhiêu bao tam giác không cân có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá $2014$?
Với $n=2014$, số tam giác (không cân) thoả đề bài: $\dfrac{\left(2014-2\right)2014\left(2.2014-5\right)}{24}=679244661$
Xét bài toán tổng quát: Có bao nhiêu tam giác có độ dài ba cạnh thuộc tập $S=\{1;2;3;\ldots;n\}$ với $n\ge1,n\in\mathbb{N}.$
Dễ thấy số tam giác đều là $n$. Ta sẽ đếm số tam giác cân (không đều) :Kí hiệu $a$ là hai cạnh bên, $b$ là cạnh đáy của tam giác cân. Ta có : $1\le b<2a$ $\left(*\right)$ hay $b$ nhận các giá trị nguyên từ $1$ đến $2a-1$ $\left(b\ne a\right)$. Với mỗi giá trị $a\in\{2;3;\ldots;n\}$ ta có $2a-2$ giá trị $b$ thoả mãn $\left(*\right)$.Số tam giác cân (không đều) cần tìm: $\displaystyle\sum^{n}_{a=2}\left(2a-2\right)=n^{2}-n$Tiếp theo ta đếm số tam giác có ba cạnh không bằng nhau. Xét mệnh đề $P(n)$ :Số tam giác thường $u_{n}$ $\left(n\ge1\right)$ có các cạnh thuộc tập $S_{n}=\{1;2;\ldots;n\}$ được xác định theo công thức :$$u_{n}=\begin{cases}\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}&\left(n\hspace{0.1cm}is\hspace{0.1cm}even\right)\\\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}&\left(n\hspace{0.1cm}is\hspace{0.1cm}odd\right)\end{cases}$$Ta sẽ chứng minh mệnh đề trên đúng bằng quy nạp.Dễ thấy mệnh đề $P(1)$ đúng vì từ tập $S=\{1\}$ không thể lập được tam giác.Giả sử mệnh đề $P(n)$ đúng. Ta cần chứng minh $P(n+1)$ cũng là một mệnh đề đúng. Hay từ tập $S_{n+1}$ có thể lập được $\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n+1\right)}{24}$ tam giác nếu $n$ chẵn, $\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(2n-3\right)}{24}$ tam giác nếu $n$ lẻ.Thật vậy, ta có nhận xét sau: Số tam giác lập từ tập $S_{i+1}$ $\left(1\le i\le n-1\right)$ sẽ bằng số tam giác lập từ tập $S_{i}$ cộng thêm một số tam giác, số tam giác này đều có đúng một cạnh có độ dài $i+1$.Do đó thay vì chứng minh mệnh đề $P(n+1)$ đúng một cách trực tiếp, ta có thể chứng minh giá trị của $u_{n+1}-u_{n}$ đúng bằng số tam giác được lập từ tập $S_{n+1}$ và có độ dài một cạnh là $n+1$.Gọi $a$$;$ $b$$;$ $n+1$ lần lượt là độ dài các cạnh tượng trưng cho mỗi tam giác có độ dài một cạnh là $n+1$.Trong đó: $3\le a+1\le b\le n$ $\left(a,b\in\mathbb{N}\right)$ và theo bất đẳng thức tam giác: $a+b\ge n+2$. Ta có hệ :$$\begin{cases}a+1\le b\le n&\left(1\right)\\n-a+2\le b\le n&\left(2\right)\end{cases}$$Nhìn hệ trên ta thấy nếu $a$ đủ lớn thì phương trình $\left(1\right)$ sẽ thu hẹp giá trị của $b$ hơn phương trình $\left(2\right)$, còn nếu $a$ đủ nhỏ thì ngược lại. Do đó ta nghĩ đến việc chia trường hợp cho $a$ với $n$ chẵn hoặc lẻ.$\bigstar$ Trường hợp $n$ chẵn. Ta đếm số tam giác có độ dài một cạnh là $n+1$ được lập từ tập $S_{n+1}$ :$\bullet$ $2\le a\le\dfrac{n}{2}$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(2\right)$ ta thu được $a-1$ giá trị của $b$.Từ đó suy ra số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{\frac{n}{2}}_{a=2}\left(a-1\right)=\dfrac{n\left(n-2\right)}{8}$$\bullet$ $\dfrac{n}{2}+1\le a\le n-1$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(1\right)$ ta thu được $n-a$ giá trị của $b$.Từ đó suy ra số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{n-1}_{a=\frac{n}{2}+1}\left(n-a\right)=\dfrac{n\left(n-2\right)}{8}$Như vậy tổng số tam giác cần tìm với $n$ chẵn là: $\dfrac{n\left(n-2\right)}{4}$. Và giá trị này đúng bằng :$$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n+1\right)}{24}-\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}=\dfrac{n\left(n-2\right)}{4}$$$\bigstar$ Trường hợp $n$ lẻ. Tương tự như trên. Ta cũng đếm số tam giác có một cạnh bằng $n+1$ lập từ $S_{n+1}$ :$\bullet$ $2\le a\le\dfrac{n+1}{2}-1$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(2\right)$ ta thu được $a-1$ giá trị của $b$.Số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{\frac{n-1}{2}}_{a=2}\left(a-1\right)=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)}{8}$$\bullet$ $a=\dfrac{n+1}{2}$ : thay vào $\left(1\right)$ hoặc $\left(2\right)$ ta có : $\dfrac{n+1}{2}+1\le b\le n$.Số tam giác trong trường hợp này là: $\dfrac{n-\left(\dfrac{n+1}{2}+1\right)}{1}+1=\dfrac{n-1}{2}$$\bullet$ $\dfrac{n+1}{2}+1\le a\le n-1$ : với mỗi giá trị của $a$ từ phương trình $\left(1\right)$ ta thu được $n-a$ giá trị của $b$.Số tam giác trong trường hợp này là: $\displaystyle\sum^{n-1}_{a=\frac{n+3}{2}}\left(n-a\right)=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)}{8}$Tổng số tam giác trong trường hợp $n$ lẻ là: $\dfrac{\left(n-1\right)^{2}}{4}$. Và giá trị này cũng đúng bằng :$$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(2n-3\right)}{24}-\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}=\dfrac{\left(n-1\right)^{2}}{4}$$Chứng minh đã xong. Thu gom kết quả lại ta có đáp số cho bài toán ban đầu :Nếu $n$ chẵn, số tam giác là: $n+n^{2}-n+\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}=\dfrac{2n^{3}+15n^{2}+10n}{24}$Nếu $n$ lẻ, số tam giác là: $n+n^{2}-n+\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}=\dfrac{2n^{3}+15n^{2}+10n-3}{24}$
Với $n=2014$, số tam giác (không cân) thoả đề bài: $\dfrac{\left(2014-2\right)2014\left(2.2014-5\right)}{24}=679
có cách nào tìm trực tiếp công thức không ạ
......
Dễ thấy số tam giác đều là $n$. Ta sẽ đếm số tam giác cân (không đều) :Kí hiệu $a$ là hai cạnh bên, $b$ là cạnh đáy của tam giác cân. Ta có : $1\le b<2a$ $\left(*\right)$ hay $b$ nhận các giá trị nguyên từ $1$ đến $2a-1$ $\left(b\ne a\right)$. Với mỗi giá trị $a\in\{2;3;\ldots;n\}$ ta có $2a-2$ giá trị $b$ thoả mãn $\left(*\right)$.Số tam giác cân (không đều) cần tìm: $\displaystyle\sum^{n}_{a=2}\left(2a-2\right)=n^{2}-n$......
Em tính số tam giác cân (đều và không đều) ở đoạn này có "một chút xíu" nhầm lẫn, xin được sửa lại như sau :
Ta sẽ đếm số tam giác cân (đều và không đều).
Ký hiệu $a$ là cạnh bên, $b$ là cạnh đáy của tam giác cân. Ta có $\frac{b}{2}< a\le n$
+ $b=1$ : $a$ có thể lấy $n$ giá trị (từ $1$ đến $n$)
+ $b=2$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)
+ $b=3$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)
+ $b=4$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)
+ $b=5$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)
...................
Vậy :
+ Nếu $n$ chẵn ($n=2k$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k)^2-2[1+2+3+...+(k-1)]-k=3k^2=\frac{3n^2}{4}$
+ Nếu $n$ lẻ ($n=2k+1$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k+1)^2-2(1+2+3+...+k)=3k^2+3k+1=\frac{3n^2+1}{4}$
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
có cách nào tìm trực tiếp công thức không ạ
thực ra mình tìm công thức truy hồi của $u_{n}$ trước rồi mới suy ra công thức tổng quát cho dãy $\left(u_{n}\right)$, do quá trình tìm khá phức tạp cũng như nhiều công đoạn (một phần cũng là hơi khó để trình bày), nên mình chỉ lấy phần công thức $u_{n}$ rồi chứng minh bằng quy nạp.
Em tính số tam giác cân (đều và không đều) ở đoạn này có "một chút xíu" nhầm lẫn, xin được sửa lại như sau :
Ta sẽ đếm số tam giác cân (đều và không đều).
Ký hiệu $a$ là cạnh bên, $b$ là cạnh đáy của tam giác cân. Ta có $\frac{b}{2}< a\le n$
+ $b=1$ : $a$ có thể lấy $n$ giá trị (từ $1$ đến $n$)
+ $b=2$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)
+ $b=3$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)
+ $b=4$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)
+ $b=5$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)
...................
Vậy :
+ Nếu $n$ chẵn ($n=2k$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k)^2-2[1+2+3+...+(k-1)]-k=3k^2=\frac{3n^2}{4}$
+ Nếu $n$ lẻ ($n=2k+1$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k+1)^2-2(1+2+3+...+k)=3k^2+3k+1=\frac{3n^2+1}{4}$
Em cảm ơn ạ sơ suất quá, anh không nói chắc em cũng không nhận ra.
* Sửa lại công thức cuối:
$n$ chẵn: $\dfrac{3n^{2}}{4}+\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}=\dfrac{n\left(n+2\right)\left(2n+5\right)}{24}$
$n$ lẻ: $\dfrac{3n^{2}+1}{4}+\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(2n+1\right)}{24}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh