Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min, max $AA'+BB'+CC'$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
riddle???

riddle???

    24724345310

  • Thành viên
  • 688 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ có điểm $I$ thuộc miền trong của tam giác. Qua $I$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác. Gọi phần nằm ở miền trong tam giác của các đường thẳng đó là $AA',BB',CC'$.
a)Tìm min $AA'+BB'+CC'$
b)Tìm max $AA'+BB'+CC'$



#2
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết

Gọi giao điểm các đường thẳng đó như hình vẽ

YkLtBaR.png

 

Bây giờ ta cần tìm max và min của $EF + KJ + GH$
Dễ chứng minh được $\frac {EF}{AB} + \frac {JK}{AC} + \frac {GH}{BC} = 2 \tag I$

Thật vậy:
$IHCJ, IKAE, IFBG$ là hình bình hành vì có các cặp cạnh đối song song

$\implies GH = IG + IH = BF + CJ \ \ (1)$ 

Áp dụng hệ quả của Thales và tính chất dãy tỉ lệ thức: $\frac {GH}{BC} = \frac {AG}{AB} = \frac {AH}{AC} = \frac {GH + AG + BH}{AB+BC+CA} \tag 2$

Từ $(1)$ và $(2) \implies \frac {GH}{BC} = \frac {BF + CJ + AG + BH}{AB +BC+CA}$

Tương tự cho: $\frac {EF}{AB},\ \frac {JK}{AC}$

Rồi cộng lại, ta được đẳng thức $(I)$

 

Bài toán sẽ quy về tìm max, min của $a x + b y + c z$ với điều kiện $x + y + z = 2 \land x,y,z \in (0;1)$, trong đó:

$a = BC, b = AC, c = AB;\ x=\frac {GH}{BC}, y = \frac {KJ}{AC}, z = \frac {EF}{AB}$

Để cho tiện, sẽ xét $x,y,z \in [0;1]$ (em chưa học lim, nên chắc phải làm kiểu này)

Không mất tỉnh tổng quát, giả sử: $c \ge b \ge a$

Ta đi chứng minh: $a x + by  + c z \ge  a + b \tag {II}$

$$(II) \iff a(2-y-z) + b y + c z -a - b \ge 0$$

$$\iff 2 a + z (c-a) + y (b-1) - a - b \ge 0$$

$$\iff (a-b)(1-y) + z(c-a) \ge 0$$

(bất đẳng thức luôn đúng vì $(a-b)(1-y)\ge 0,\ z(c-a) \ge 0$)

Đẳng thức xảy ra $\iff y = 1 \land z = 0 \iff I \equiv C$ (???)
Nhưng $I$ không thể trùng với $C$ được (cũng như $x,y,z \not \in \{0;1\}$)

Do đó $ax + by + cz \ge a + b - (const)$

Trong đó $(const)$ là hằng số dương vô cùng nhỏ (như $0.(0)1$ chẳng hạn)

Chứng minh tương tự, được:
$ax + by + cz \le b+ c - (const)$

 

Kết luận $$AA'+BB'+CC' = EF + KJ + GH \in (AB+BC + CA - \max\{AB,BC,CA\};AB + BC + CA - \min\{AB,BC,CA\})$$

hay $\boxed{\min\{AA'+BB'+CC'\} \approx AB+BC+CA - \max\{AB,BC,CA\}}$

$\boxed{\max\{AA'+BB'+CC'\} \approx AB+BC+CA - \min\{AB,BC,CA\}}$ 

 

Bình luận/mở rộng, làm chặt (thực ra thế nó mới dễ làm hơn): 

Cho tam giác $ABC$ có điểm $I$ không nằm ngoài tam giác. Qua $I$ kẻ các đường thẳng lần lượt không cắt các cạnh AB, AC, BC của tam giác. Gọi phần nằm ở miền trong tam giác của các đường thẳng đó là các đoạn thẳng $EF,KJ,GH$.
a)Tìm min $EF + KJ + GH$
b)Tìm max $EF + KJ + GH$

 

Làm tương tự như lời giải trên, sẽ thu được 

$\boxed{\min\{EF + KJ + GH\} = AB+BC+CA - \max\{AB,BC,CA\}} \iff I \equiv$ đỉnh có góc trong lớn nhất

$\boxed{\max\{EF + KJ + GH\} = AB+BC+CA - \min\{AB,BC,CA\}} \iff I \equiv$ đỉnh có góc trong nhỏ nhất


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 19-05-2013 - 17:55

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#3
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết

Chấm bài: 

ilovelife: 10 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh