Cho tam giác $ABC$ có điểm $I$ thuộc miền trong của tam giác. Qua $I$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác. Gọi phần nằm ở miền trong tam giác của các đường thẳng đó là $AA',BB',CC'$.
a)Tìm min $AA'+BB'+CC'$
b)Tìm max $AA'+BB'+CC'$
Tìm min, max $AA'+BB'+CC'$
#1
Đã gửi 29-07-2006 - 16:37
- diepviennhi, IloveMaths và LNH thích
#2
Đã gửi 19-05-2013 - 11:09
Gọi giao điểm các đường thẳng đó như hình vẽ
Bây giờ ta cần tìm max và min của $EF + KJ + GH$
Dễ chứng minh được $\frac {EF}{AB} + \frac {JK}{AC} + \frac {GH}{BC} = 2 \tag I$
Thật vậy:
$IHCJ, IKAE, IFBG$ là hình bình hành vì có các cặp cạnh đối song song
$\implies GH = IG + IH = BF + CJ \ \ (1)$
Áp dụng hệ quả của Thales và tính chất dãy tỉ lệ thức: $\frac {GH}{BC} = \frac {AG}{AB} = \frac {AH}{AC} = \frac {GH + AG + BH}{AB+BC+CA} \tag 2$
Từ $(1)$ và $(2) \implies \frac {GH}{BC} = \frac {BF + CJ + AG + BH}{AB +BC+CA}$
Tương tự cho: $\frac {EF}{AB},\ \frac {JK}{AC}$
Rồi cộng lại, ta được đẳng thức $(I)$
Bài toán sẽ quy về tìm max, min của $a x + b y + c z$ với điều kiện $x + y + z = 2 \land x,y,z \in (0;1)$, trong đó:
$a = BC, b = AC, c = AB;\ x=\frac {GH}{BC}, y = \frac {KJ}{AC}, z = \frac {EF}{AB}$
Để cho tiện, sẽ xét $x,y,z \in [0;1]$ (em chưa học lim, nên chắc phải làm kiểu này)
Không mất tỉnh tổng quát, giả sử: $c \ge b \ge a$
Ta đi chứng minh: $a x + by + c z \ge a + b \tag {II}$
$$(II) \iff a(2-y-z) + b y + c z -a - b \ge 0$$
$$\iff 2 a + z (c-a) + y (b-1) - a - b \ge 0$$
$$\iff (a-b)(1-y) + z(c-a) \ge 0$$
(bất đẳng thức luôn đúng vì $(a-b)(1-y)\ge 0,\ z(c-a) \ge 0$)
Đẳng thức xảy ra $\iff y = 1 \land z = 0 \iff I \equiv C$ (???)
Nhưng $I$ không thể trùng với $C$ được (cũng như $x,y,z \not \in \{0;1\}$)
Do đó $ax + by + cz \ge a + b - (const)$
Trong đó $(const)$ là hằng số dương vô cùng nhỏ (như $0.(0)1$ chẳng hạn)
Chứng minh tương tự, được:
$ax + by + cz \le b+ c - (const)$
Kết luận $$AA'+BB'+CC' = EF + KJ + GH \in (AB+BC + CA - \max\{AB,BC,CA\};AB + BC + CA - \min\{AB,BC,CA\})$$
hay $\boxed{\min\{AA'+BB'+CC'\} \approx AB+BC+CA - \max\{AB,BC,CA\}}$
và $\boxed{\max\{AA'+BB'+CC'\} \approx AB+BC+CA - \min\{AB,BC,CA\}}$
Bình luận/mở rộng, làm chặt (thực ra thế nó mới dễ làm hơn):
Cho tam giác $ABC$ có điểm $I$ không nằm ngoài tam giác. Qua $I$ kẻ các đường thẳng lần lượt không cắt các cạnh AB, AC, BC của tam giác. Gọi phần nằm ở miền trong tam giác của các đường thẳng đó là các đoạn thẳng $EF,KJ,GH$.
a)Tìm min $EF + KJ + GH$
b)Tìm max $EF + KJ + GH$
Làm tương tự như lời giải trên, sẽ thu được
$\boxed{\min\{EF + KJ + GH\} = AB+BC+CA - \max\{AB,BC,CA\}} \iff I \equiv$ đỉnh có góc trong lớn nhất
$\boxed{\max\{EF + KJ + GH\} = AB+BC+CA - \min\{AB,BC,CA\}} \iff I \equiv$ đỉnh có góc trong nhỏ nhất
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 19-05-2013 - 17:55
- N H Tu prince, Tienanh tx, nhatquangsin và 1 người khác yêu thích
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh